[医学]第7章二项分布与泊松分布.ppt

第七章 二项分布与Poisson分布 目 录 第一节 二项分布及其应用 一、二项分布的概念及应用条件 二项分布（binominal distribution） 是一种重要的离散型分布，在医学上常遇到属于两分类的资料，每一观察单位只具有相互独立的一种结果，如检查结果的阳性或阴性，动物试验的生存或死亡，对病人治疗的有效或无效等。 二项分布 也称为贝努里分布（Bernoulli distribution）或贝努里模型，是由法国数学家J.Bernoulli于1713年首先阐述的概率分布。 如果已知发生某一结果（如阳性）的概率为π，其对立结果（阴性）的概率为（1-π），且各观察单位的观察结果相互独立，互不影响，则从该总体中随机抽取n例，其中出现阳性数为X (X=0,1,2,3,…，n)的概率服从二项分布。 贝努里模型应具备下列三个基本条件 试验结果只出现对立事件A或，两者只能出现其中之一。这种事件也称为互斥事件。 试验结果是相互独立，互不影响的。例如，一个妇女生育男孩或女孩，并不影响另一个妇女生育男孩或女孩等。 每次试验中，出现事件A的概率为π ，而出现对立事件的概率为１- π 。则有总概率 π +（1- π ）=1。 二、 二项分布的概率函数 根据贝努里模型进行试验的三个基本条件，可以求出在n 次独立试验下，事件A出现的次数X的概率分布。X为离散型随机变量，其可以取值为0,1,2,…,n。 则X的概率函数为： 三、 二项分布的性质 1. 二项分布的每种组合的概率符合二项展开式，其总概率等于1 二项展开式有以下特点： （1）展开式的项数为n+1。 （2）展开式每项π和（1- π ）指数之和为n。 （3）展开式每项π的指数从0到n；（1- π ）的指数从n到0。 2. 二项分布的累积概率 设m1≤X≤m2 （m1＜m2）, 则X在m1至m2区间的累积概率有： 至多有x例阳性的概率为： 至少有x例阳性的概率为： 3.二项分布的概率分布图形 以X为横坐标，P（X）为纵坐标，在坐标纸上可绘出二项分布的图形, 由于X为离散型随机变量，二项分布图形由横坐标上孤立点的垂直线条组成。 二项分布的图形取决于与n的大小。当n充分大时，二项分布趋向对称，可以证明其趋向正态分布。 一般地，如果nπ之积大于5时，分布接近正态分布；当nπ5时，图形呈偏态分布。当π =0.5时，图形分布对称，近似正态。如果π≠0.5或距0.5较远时，分布呈偏态。 4.二项分布的数字特征 (这里的数字特征主要指总体均数、方差、标准差等参数） （1）随机变量X的数学期望E（X）＝μ，即指总体均数： μ ＝nπ （2）随机变量X的方差D（X）＝σ 2 为： （3）随机变量X的标准差为: 四、二项分布展开式各项的系数 二项分布展开式的各项之前均有一个系数，用组合公式来表示。计算公式为： 该系数也可用杨辉三角来表示，国外参考书习惯称之为巴斯噶三角。 当试验次数n较小时，可直接利用杨辉三角将二项分布展开式各项的系数写出来，应用十分方便。 图 杨辉三角模式图 杨辉三角的意义： 五、二项分布的应用 （一）应用二项分布计算概率 三个妇女生育一个男孩，两个女孩的概率为： (二)样本率与总体率的比较的直接概率法 情形一：治疗20例病人的疗效分析 情形二：治疗30例病人的疗效分析（1）检验假设同情形一。（2）计算单侧累积概率有： （3）推断结论 本例P＝0.0102,在＝0.05水准上,拒绝H0,接受H1。可以认为改进型A药的疗效优于原A药。 分析:本例总体率＝1％。调查人群样本反应率为（1／300）×100％＝0.33％。由于样本率小于总体率，故应计算小于等于阳性人数的累积概率。 第二节 Poisson分布及其应用 (二)常见Poisson分布的资料 二、Poison分布的概率函数及性质 亦可用下列公式计算 (二) 性质 （0≤x1＜x2） （三）Poisson分布的图形 图 Poisson分布的概率分布图 例 计算Poisson分布X~P(3.5)的概率。 余类推。经计算得到一系列数据，见表。 （四）Poisson分布的可加性 三、Poisson分布与二项分布的比较 表 二项分布与Poisson分布计算的概率值比较 余类推。 2.按Poisson分布计算 代入公式有： （四）Poisson分布的应用