[学科竞赛]42常微分方程课件最全面的_必威体育精装版的.ppt

例6 解 上面代数方程的根为 故方程的通解为: 例7 解 上面代数方程的根为 故方程的通解为: 三、常系数非齐线性方程的解法 (一) 比较系数法 1 类型I: 例8 解 对应齐次方程特征根为 故该方程的特解形式为 比较系数得 即 因此原方程的通解为 齐次的通解+非齐次特解 由于 也即 这时相应地方程(4.32)将为 对上面方程, 因而方程(4.36)有形如, 特解, 特解, 例如 设特解为 * * §4.2 常系数线性方程的解法 一、复值函数与复值解 1 复值函数 复函数的求导法则与实函数求导法则相同 2 复指数函数 欧拉公式: 性质: 定义 3 复值解 (1)定义 (2)定理8 (3)定理9 若方程 和 的解. 二、常系数齐线性方程和欧拉方程 1 常系数齐线性方程的求解方法(Euler待定系数法) 考虑方程 称(4.19)为n阶常系数齐线性方程. 我们知道,一阶常系数齐线性方程 有解 受此启发,对(4.19)偿试求指数函数形式的解 把它代入方程(4.19)得 的根,方程(4.21)称为方程(4.19)的特征方程,它的根为方程(4.19)的特征根. (1) 特征根是单根的情形 由于 故解组(4.22)线性无关. 例 特征方程为 有根 故方程的通解为 由定理8知,它的实部和虚部也是方程的解,这样,对方程的一对共轭复根: 由此求得(4.19)的两个实值解为 则因方程的系数实常数,复根将成对共轭出现, 相应方程(4.19)有两个复值解, 例1 解 特征方程为 有根 有两个实根和两个复根,均是单根 故方程的通解为 例2 解 特征方程为 有根 故方程的通解为 (2) 特征根是重根的情形 而对应方程(4.19)变为 于是方程(4.19)化为 方程(4.23)相应特征方程为 直接计算易得 因此 这样就把问题转化为前面讨论过的情形(a). 可以证明这些函数线性无关，即(4.25)和(4.26)构成方程(4.19)的基本解组 对特征方程有复根的情况: 如同单根时那样,我们也可以 (3) 求方程(4.19)通解的步骤 第一步: 第二步: 计算方程(4.19)相应的解 第三步: 例3 解 特征方程为 有根 因此有解 故通解为 例4 解 特征方程为 有根 故方程的通解为 例4 解 特征方程为 即有特征根 故方程的通解为 即有实值解 2 欧拉(Euler)方程 形如 的方程,称为欧拉方程. (1) 引进变换 由归纳法原理可知 将上述关系式代入(4.19) 得常系数齐线性方程. 因而可以用上述方法求出(4.30)的通解,再代回原来的变量就可得到方程(4.29)的通解. 例5 解 作变换 把上式入原方程得 故原方程的通解为: 则 上述方程的通解为: (2) 从上述推演过程,我们知(4.30) 因此可直接求欧拉方程的 则(4.31)正好是(4.30)的特征方程,