[小学教育]微积分习题.ppt

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[小学教育]微积分习题

习题课 一、 曲线积分的计算法 2. 基本技巧 二、曲面积分的计算法 2. 基本技巧 例2. 计算 思考与练习 2. 设 例6. 计算 解法2 斯托克斯( Stokes ) 公式 思 考 题 6 设 ? 是一光滑闭曲面, 内容小结 思考与练习 例7. 设 ? 是曲面 例8. 计算曲面积分 例9. 例10. 计算曲面积分 *例11. 例12. 高斯(1777 – 1855) 其中 ? 为锥面 介于 z = 0 及z = h 之间部分 的下侧. 则法向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法2 例4. 4利用Gauss 公式计算积分 ∑为下侧 设? 为曲面 取上侧, 求 解: 取 下侧 用柱坐标 用极坐标 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4.5. 所围立体 ? 的体 ? 是 ? 外法线向量与点 ( x , y , z ) 的向径 试证 证: 设 ? 的单位外法向量为 则 的夹角, 积为V, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 高斯公式及其应用 公式: 应用: (1) 计算曲面积分 (非闭曲面时注意添加辅助面的技巧) (2) 推出闭曲面积分为零的充要条件: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 所围立体, 判断下列演算是否正确? (1) (2) ? 为? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 取足够小的正数?, 作曲面 取下侧 使其包在 ? 内, 为 xoy 平面上夹于 之间的部分, 且取下侧 , 取上侧, 计算 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二项添加辅助面, 再用高斯公式 计算, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中, 解: 思考: 本题 ? 改为椭球面 时, 应如何 计算 ? 提示: 在椭球面内作辅助小球面 内侧, 然后用高斯公式 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明: 设 (常向量) 则 单位外法向向量, 试证 设 ? 为简单闭曲面, a 为任意固定向量, n 为?的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 中? 是球面 解: 利用对称性 用重心公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 置于原点, 电量为 q 的点电荷产生的场强为 解: 计算结果与仅原点有点电荷的事实相符. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设L 是平面 与柱面 的交线 从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算 解: 记 ? 为平面 上 L 所围部分的上侧, D为?在 xoy 面上的投影. 由斯托克斯公式 公式 目录 上页 下页 返回 结束 * 一、 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲线与曲面积分的计算 第五章 1. 基本方法 曲线积分 第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 ) (1) 统一积分变量 转化 定积分 用参数方程 用直角坐标方程 用极坐标方程 (2) 确定积分上下限 第一类: 下小上大 第二类: 下始上终 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 利用对称性简化计算 ; (2) 利用积分与路径无关的等价条件; (3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ; (5) 利用两类曲线积分的联系公式 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 基本方法 曲面积分 第一类( 对面积 ) 第二类( 对坐标 ) 转化 二重积分 (1) 统一积分变量 — 代入曲面方程 (2) 积分元素投影 第一类: 始终非负 第二类: 有向投影 (3) 确定二重积分域 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 利用对称性简化计算 (2) 利用高斯公式 注意公式使用条件 添加辅助面的技巧 (辅助面一般取平行坐标面的平面) (3) 两类曲面积分的转化 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 计算 其中L为圆周 方法1: 用参数方程计算 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 原式 = 1. 计算 其中L为圆周 方法2: 利用极坐标 , 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中? 为曲线 解: 利用轮换对称性 , 有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中L为摆线 上对应 t 从 0 到 2?

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