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[工学]2013专转本有理函数和可化为有理函数的不定积分
三、三角函数有理式的不定积分 例9 求不定积分: 解: 令 令 若三角有理式 是 的奇函数,即 则作代换 可使 化为 的有理函数的积分. 例9(1)中, 故 若三角有理式 是 的奇函数,即 则作代换 可使 化为 的有理函数的积分. 例10 求不定积分: 解法一: 例10 求不定积分: 解法一: 例10 求不定积分: 解法二: (1) 令 则 所以 例10 求不定积分: 解法二: (2) 令 则 所以 当 时, 作代换 可将 化为 的有理函数的积分. 例10中 均属于此种情形. 万能变换: 可将任意三角函数有理式不定积分 转化为有理函数的积分. 令 则 例11 求不定积分: 解: 令 则 所以 四、某些无理根式的不定积分 例12 求下列不定积分: 解: (1) 令 则 例12 求下列不定积分: 解: 令 则 于是 * 有理函数和可化为有理函数的不定积分 一、简单有理函数的不定积分 故 故 一般地,设 则 其中 二、有理函数的不定积分 例1 求不定积分: 解: 关键步骤: 问题: 1)根据? 2)方法? 二、有理函数的不定积分 例1 求不定积分: 解: 关键步骤: 问题: 1)根据? 2)方法? 命题1(有理真分式的部分分式分解1) 有理真分式 可表为如下部分分式之和: 可用比较系数、泰勒公式等方法确定. 例2 求有理真分式 的部分分式分解. 解: 设 例2 求有理真分式 的部分分式分解. 解: 设 则 设 则由泰勒公式知: 故 命题2(有理真分式的部分分式分解2) 有理真分式 可表为如下部分分式之和: 待定系数 通常用比较系数法确定. 命题2可以推广到任意有限个的情形: 例3 求不定积分: 例3 求不定积分: 解: 设 则 比较等式两边同次幂系数,得方程组: 例3 求不定积分: 解: 解之得 故 例4 求不定积分: 解: (关键步骤!) 例4 求不定积分: 解: 所以 命题3(有理真分式的部分分式分解3) 有理真分式 可表为如下部分分式之和: 待定系数 通常用比较 系数法确定. 命题4(有理真分式的部分分式分解4) 有理真分式 可表为如下部分分式之和: 待定系数 通常用比较 系数法确定. 例5 求 解: 令 例6 求 解法1: 设 则有 比较等式两边同次幂系数,有 解方程组,得 故 例6 求 解法2: 解法2的特点: 1)凑分母因子; 2)凑分母微分 将有理真分式函数 分解为部分分式的步骤: 第一步: 将 在实数系内作标准分解: 第二步: 根据上述分解式的各个因子,写出对应的部分分式. 对应 的部分分式为: 对应 的部分分式为: 第三步: 通过比较同次项的系数,或代入特殊值的方式, 确定以上待定系数. 例7 设 求 解: 设 则 令 得 令 得 比较两边 的系数,得 令 得 令 得 解得: 故 注意到 所以 例8 求下列不定积分: 解: (1) 设 则有 分别取 得 故 例8 求下列不定积分: 解: (2) 设 则有 分别令 可求得 解之得 例8 求下列不定积分: 解: (3) 设 则 分别令 得 解之得 解: (3) 设 则 分别令 得 解之得 例8 求下列不定积分: 解: (4) 设 则有 比较等式两边同次幂系数,得 解之得 解: (4) 设 则有 比较等式两边同次幂系数,得 解之得 所以
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