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[工学]6-3 参数的区间估计
第三节 区间估计
一、区间估计的基本概念
二、典型例题
三、小结
一、区间估计的基本概念
1. 置信区间的定义
设总体X 的分布函数F (x ;)含有一个未知参
数, 对于给定值(0 1), 若由样本X 1 ,X 2 , ,
X n 确定的两个统计量
(X 1 ,X 2 , ,X n )和 (X 1 ,X 2 , ,X n ) 满足
P {(X 1 ,X 2 , ,X n ) (X 1 ,X 2 , ,X n )} 1,
则称随机区间(,)是的置信度为1的置信区
间,和分别称为置信度为1的双侧置信区间
的置信下限和置信上限, 1为置信度.
关于定义的说明
被估计的参数虽然未知, 但它是一个常数,
没有随机性, 而区间(,)是随机的.
因此定义中下表达式
P {(X 1 ,X 2 , ,X n ) (X 1 ,X 2 , ,X n )} 1
的本质是:
随机区间(,) 以1的概率包含着参数的真值,
而不能说参数以1的概率落入随机区间(,).
另外定义中的表达式
P {(X 1 , X 2 , , X n ) (X 1 , X 2 , , X n )} 1
还可以描述为:
若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等,都是n)
每个样本值确定一个区间(,),
每个这样的区间或包含的真值或不包含的真值,
按伯努利大数定理, 在这样多的区间中,
包含真值的约占100(1)%, 不包含的约占100%.
例如 若 0.01, 反复抽样1000 次,
则得到的1000 个区间中不包含真值的约为10个.
2. 求置信区间的一般步骤(共3步)
(1) 寻求一个样本X 1 ,X 2 , ,X n 的函数:
Z Z (X 1 ,X 2 , ,X n ;)
其中仅包含待估参数, 并且Z 的分布已知
且不依赖于任何未知参数(包括 ).
(2) 对于给定的置信度1,定出两个常数a,b,
使P {a Z (X 1 ,X 2 , ,X n ;) b} 1.
(3) 若能从a Z (X 1 ,X 2 , ,X n ;) b 得到等价的
不等式 , 其中 (X 1 ,X 2 , ,X n ),
(X 1 ,X 2 , ,X n ) 都是统计量, 那么(, ) 就
是 的一个置信度为1的置信区间.
样本容量n 固定, 置信水平1增大, 置信区
间长度增大, 可信程度增大, 区间估计精度降低.
置信水平1固定, 样本容量n 增大, 置信区
间长度减小, 可信程度不变, 区间估计精度提高.
2
例1 设X 1 ,X 2 , ,X n 是来自正态总体N (, )
2
的样本, 其中 为已知, 为未知, 求的置信水平
为1的置信区间.
解 因为X 是的无偏估计,
X
且U ~ N (0,1),
/ n
X ~ N (0,1)是不依赖于任何未知参数的,
/ n
由标准正态分布的上分位点的定义知
X
P z/ 2 1,
/ n
即P X z/ 2 X z/ 2 1,
n n
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