[工学]6-3 参数的区间估计.pdf

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[工学]6-3 参数的区间估计

第三节 区间估计 一、区间估计的基本概念 二、典型例题 三、小结 一、区间估计的基本概念 1. 置信区间的定义 设总体X 的分布函数F (x ;)含有一个未知参 数, 对于给定值(0 1), 若由样本X 1 ,X 2 , , X n 确定的两个统计量  (X 1 ,X 2 , ,X n )和 (X 1 ,X 2 , ,X n ) 满足 P {(X 1 ,X 2 , ,X n )  (X 1 ,X 2 , ,X n )} 1, 则称随机区间(,)是的置信度为1的置信区 间,和分别称为置信度为1的双侧置信区间 的置信下限和置信上限, 1为置信度. 关于定义的说明 被估计的参数虽然未知, 但它是一个常数, 没有随机性, 而区间(,)是随机的. 因此定义中下表达式 P {(X 1 ,X 2 , ,X n )  (X 1 ,X 2 , ,X n )} 1 的本质是: 随机区间(,) 以1的概率包含着参数的真值, 而不能说参数以1的概率落入随机区间(,). 另外定义中的表达式 P {(X 1 , X 2 , , X n )  (X 1 , X 2 , , X n )} 1  还可以描述为: 若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等,都是n) 每个样本值确定一个区间(,), 每个这样的区间或包含的真值或不包含的真值, 按伯努利大数定理, 在这样多的区间中, 包含真值的约占100(1)%, 不包含的约占100%. 例如 若 0.01, 反复抽样1000 次, 则得到的1000 个区间中不包含真值的约为10个. 2. 求置信区间的一般步骤(共3步) (1) 寻求一个样本X 1 ,X 2 , ,X n 的函数: Z Z (X 1 ,X 2 , ,X n ;) 其中仅包含待估参数, 并且Z 的分布已知 且不依赖于任何未知参数(包括 ). (2) 对于给定的置信度1,定出两个常数a,b, 使P {a Z (X 1 ,X 2 , ,X n ;) b} 1. (3) 若能从a Z (X 1 ,X 2 , ,X n ;) b 得到等价的 不等式  , 其中 (X 1 ,X 2 , ,X n ),  (X 1 ,X 2 , ,X n ) 都是统计量, 那么(, ) 就 是 的一个置信度为1的置信区间.   样本容量n 固定, 置信水平1增大, 置信区 间长度增大, 可信程度增大, 区间估计精度降低.   置信水平1固定, 样本容量n 增大, 置信区 间长度减小, 可信程度不变, 区间估计精度提高. 2 例1 设X 1 ,X 2 , ,X n 是来自正态总体N (,  ) 2 的样本, 其中 为已知, 为未知, 求的置信水平 为1的置信区间. 解 因为X 是的无偏估计, X  且U ~ N (0,1), / n X  ~ N (0,1)是不依赖于任何未知参数的, / n 由标准正态分布的上分位点的定义知 X   P  z/ 2  1, / n      即P X  z/ 2 X  z/ 2  1,  n n 

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