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[工学]7-3相平面法2
7.3.4 奇点和奇线 引入相平面图的概念,不单是求取相轨迹,而是要通过对相平面的研究,确定系统所有可能的运动状态及性能。因此需要进一步研究相平面图的基本特征,从而找出相平面图与系统的运动状态和性能之间的关系。系统的相平面图有以下两个基本特征。 2. 奇线 奇线是相平面图中具有不同性质的相轨迹的分界线。通常见到的奇线有两种:分隔线和极限环。 相平面图上孤立的封闭相轨迹,而其附近的相轨迹都趋向或发散于这个封闭的相轨迹,这样的相轨迹曲线称为极限环。在描述函数中所讨论的非线性系统的自振荡状态,反映在相平面图上,就是一个极限环。根据极限环的稳定性,极限环又分为三类。 (1)稳定极限环 若极限环两侧的相轨迹都趋向于该环,这种极限环称为稳定极限环。 7.3.5 非线性系统的相平面法分析 * * 1.奇点 奇点是相平面图上的一类特殊点。所谓奇点,就是指相轨迹的斜率d /dx = 0/0为不定值的点,因此可以有无穷多条相轨迹经过该点。 x x 由于在奇点处,d /dt =0,dx/dt = 0这表示系统处于平衡状态,故奇点亦称为平衡点。 令x1 = x,x2 = x 奇点的分类:根据奇点附近相轨迹的特征。由于此时是研究奇点附近系统的运动状态,因此可以用小偏差理论,在奇点(x10,x20)附近展开成泰勒级数 P(x10,x20) = Q(x10,x20) = 0 为讨论简便起见,设奇点就在坐标原点,即x10 = x20 = 0 系统在奇点附近的线性化方程 系统在奇点附近的运动状态就由上式的两个特征根决定。根据特征根的分布情况,系统相应有六种奇点: 稳定节点 —— 两个负实根 相轨迹是一簇趋向原点的抛物线。系统在奇点附近是稳定的。 不稳定节点 —— 两个正实根 相轨迹是由原点出发的一簇发散型抛物线。系统在奇点附近是不稳定的。 稳定焦点 —— 在左半平面的一对共轭复数根 相轨迹是收敛于原点的一簇螺旋线。系统在奇点附近是稳定的。 不稳定焦点 —— 在右半平面的一对共轭复数根 相轨迹为一簇从原点发散的螺旋线。系统在奇点附近是不稳定的。 鞍点 —— 一个负实根,一个正实根 系统在奇点附近是不稳定的。 中心点 —— 一对纯虚根 相轨迹是一簇同心的椭圆曲线。系统在奇点附近可能稳定,可能不稳定,与忽略掉的高次项有关系。 x x 0 ? 0 j? x x 0 x = s2x x = s1x x x 0 x= s1 x x= s2 x ? 0 j? ? 0 j? x x 0 x x 0 ? 0 j? ? 0 j? ? 0 j? x x 0 [例7-7] 试绘制由下列方程描述的非线性系统的相平面图。 根据奇点的定义,得 解:(1)确定奇点。 令x1 = x,x2 = x (2)确定奇点的类型。 在奇点(0,0)附近,可得系统的线性化方程为 它的两个特征根为 -0.25 ? j1.39,故该奇点是稳定焦点。 在奇点(?2,0)附近,由于该奇点不在坐标原点,先进行坐标变换,令y = x+2,则此时系统的线性化方程为 它有两个特征根1.19和?1.69,因此这个奇点为鞍点。 x 0 x 分隔线 从系统的运动状态来看,这种稳定极限环表示系统具有固定周期和幅值的稳定振荡状态,即自振荡。从相平面图上看,稳定极限环把相平面图划分成两个区域。由于在极限环内部的相轨迹随时间的增加是发散的,故内部区域为不稳定区。而在极限环外部的相轨迹随时间的增加收敛于这个极限环,因此外部区域为稳定区。通常在设计系统时,则应尽量减小这种极限环,以满足对稳态误差的要求。 x x 0 (2)不稳定极限环 若极限环两侧的相轨迹从极限环发散,这种极限环称为不稳定极限环。系统的运动状态与初始条件有关,若初始状态在环内,则系统状态将趋于平衡点(坐标原点)。反之,系统状态将远离平衡点。所以具有不稳定极限环的系统,其平衡状态是小范围稳定的,大范围是不稳定的。通常在设计系统时,应尽量增大极限环。 x x 0 (3)半稳定极限环 如果两侧的相轨迹,其中一侧离开极限环,另一侧趋向于极限环,这种极限环称为半稳定极限环。对于图7-32(c)来说,由于被极限环所划分的两个
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