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[工学]7第七讲 FIR DF 有限长数字滤波器的设计
第七讲 FIR数字滤波器的设计方法 IIR数字滤波器: 学习目标 掌握线性相位FIR数字滤波器的特点 掌握窗函数设计法 理解频率抽样设计法 了解设计FIR滤波器的最优化方法 理解IIR与FIR数字滤波器的比较 一、线性相位FIR滤波器的特点 FIR滤波器的单位冲激响应: 1、线性相位条件 h(n)为实序列时,其频率响应: 2、线性相位FIR滤波器频率响应的特点 频率响应: 频率响应: 3、幅度函数的特点 1)h(n)偶对称,N为奇数 2)h(n)偶对称,N为偶数 3)h(n)奇对称,N为奇数 4)h(n)奇对称,N为偶数 4、零点位置 二、窗函数设计法 1、设计方法 以低通滤波器为例讨论: 线性相位理想低通滤波器的频率响应: 取矩形窗: 加窗处理后对频率响应的影响: 时域乘积相当于频域卷积 理想滤波器的频率响应: 加窗函数的影响: 不连续点处边沿加宽形成过渡带,其宽度(两肩峰之间的宽度)等于窗函数频率响应的主瓣宽度。 2、各种窗函数 窗函数的要求: 三角形(Bartlett)窗 汉宁(Hanning)窗 (升余弦窗) 海明(Hamming)窗 (改进的升余弦窗) 布莱克曼(Blackman)窗 (二阶升余弦窗) 凯泽(Kaiser)窗 3、窗函数法的设计步骤 4、线性相位FIR低通滤波器的设计 2)求hd(n) 5)确定FIR滤波器的h(n) 5、线性相位FIR高通滤波器的设计 6、线性相位FIR带通滤波器的设计 7、线性相位FIR带阻滤波器的设计 三、频率抽样设计法 1、设计方法 抽样点上,频率响应严格相等 1、线性相位的约束 1)h(n)偶对称,N为奇数 2)h(n)偶对称,N为偶数 1)第一种频率抽样 2)第二种频率抽样 3、线性相位第一种频率抽样 h(n)为实数序列时,H(k)圆周共轭对称 当N为奇数时: 频率响应: 4、线性相位第二种频率抽样 h(n)为实数序列时,H(k)圆周共轭对称 频率响应: 5、过渡带抽样的优化设计 增加过渡带抽样点,可加大阻带衰减 增加过渡带抽样点,可加大阻带衰减,但导致过渡带变宽 得线性相位FIR滤波器的频率响应: 增加一点过渡带抽样点 增加两点过渡带抽样点 且增加抽样点数为N=65 四、设计FIR滤波器的最优化方法 1、均方误差最小准则 均方误差: 2、最大误差最小化准则 (加权chebyshev等波纹逼近) 设误差函数值为δ,则 五、IIR和FIR数字滤波器的比较 IIR滤波器 FIR滤波器 加权chebyshev等波纹逼近: 求一组系数 使各频带上 的最大绝对值最小 加权逼近误差函数: 逼近函数 加权函数 A — 各通带和阻带 交错定理:若 是r个余弦函数的线性组合。即 A是 内的一个闭区间(包括各通带、阻带,但不包括过渡带), 是A上的一个连续函数, 则 是 的唯一地和最佳的加权chebyshev逼近的充分必要条件是: 加权逼近误差函数 在A中至少有 个极值点,即A中至少有 个点 ,且 使得 且 参数: , , , ,N 设要求滤波器频率响应: 寻找一个 使其在通带和阻带内最佳地一致逼近 若 最佳一致逼近 则 在通、阻带内具等波纹性 故又称等波纹逼近 根据交错定理: 最大极值点数 的极值点数+ 单有极点 根据 知 的极值点数为: 偶对称 N为奇数 N为偶数 奇对称 N为奇数 N为偶数 单有的极值点是除 外的频带端点处 如低通有2个,带通有4个 极值点数目 最优线性相位FIR滤波器的设计步骤 6)用Remez算法,求逼近问解的解 7)计算滤波器的单位抽样响应 2)根据类型和 的长度N,确定 的个数r 4)计算各格点频率上的 和 函数值 1)输入数据,滤波器性能要求,滤波器类型 加权逼近误差: 将 , 表示成 , 5)用公式表示逼近问题 3)在 频率区间,用密集的格点表示离散频率 Remez算法 1)按等间隔设定 个极值点频率的初始值 其中: , , 未知数: 和δ,但求解困难 可求 2)用解析法求 其中: 3)求 值 其中: 利用重心形式的拉格朗日内插公式得 4)求 5)判断是否所有频率上皆有 若是,结束计算 若否, 作为新的一组交错点组频率,返回步骤2) 重新计算 值, , 误差曲线每个格点频率上 (r+1)个极值点频率处 ,且正负交
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