[工学]ANSYS平面问题和轴对称问题的有限元法.ppt

第五章 平面问题和轴对称问题的有限元法 交通学院车辆工程系 李红艳 联系方式 lihongyan@ 5.1平面问题基本知识 5.2 轴对称问题基本知识 5.3板分析实例 5.4轴对称圆筒分析实例 5.1平面问题基本知识 在工程实际中，任何一种结构都是空间物体，占有三度空间，作用在上面的外力一般都是空间力系。但是，如果所研究的结构具备某些特殊的形状，并且承受某些特殊的载荷，往往可以把问题简化，平面问题就是三维问题简化的一种特殊形式。通过这些简化处理，可以在满足精度要求的情况下大大减少分析和计算的工作量。 弹性力学的平面问题有两种情况，即 平面应力问题 平面应变问题 5.1.1平面应力问题 （1）几何条件，所研究的机构是一很薄的等厚度薄板，即一个方向上的几何尺寸远远小于其余两个方向上的几何尺寸； （2）载荷条件，作用于薄板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面上无外力作用。 在不失稳的条件下，由于板很薄，可以认为在方向上的应力σz=0，同时τyz=τxz=0。因此，平面问题应力的分量只有三个分量为 需要指出，平面应力状态中方向虽然没有应力，但有应变，只有在纯剪切时，没有应力的方向才没有应变。 5.1.2平面应变问题 （1）几何条件，所研究的机构是长柱体（理论上假设为无限长细长结构），且横截面沿长度方向不变，即长度方向的尺寸远远大于横截面的尺寸； （2）载荷条件，作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端不受力。 平面应变问题处理面内受力但垂直方向上不产生变形的二维受力问题。如把水坝截取一个截面来分析它的受力状况。由于水坝很长，这一截面在垂直方向位移（一般设为w）为零，即 5.1.3平面问题基本方程 平衡方程 几何方程 物理方程 可以看出,平面应力和平面应变问题的物理方程可以通过以下变换互相得到 5.1.4 平面问题的三角形单元求解 1. 选择适当的坐标系，写出单元的位移和节点力向量 2. 选择适当的位移插值函数 3. 求单元中任一点位移与节点位移的关系 4. 求单元应变-单元位移-节点位移之间的关系 5. 求应力-应变-节点位移间的关系 6. 求节点力与节点位移的关系 P173页习题2，有一正方形板，沿对角承受压力作用，板厚t=1mm，载荷P=20KN，如图5-66所示。材料弹性模量E=2.1E10，泊松比为0.3。 解： 1、单元分析 对于如图所示结构，可以利用对称性，考虑右半个模型，可以看作两个三角形单元的结构。坐标系的建立如图所示。 2、求单元的形函数矩阵 由形函数公式 其中 i ,j , m=1,2,3 故 形函数矩阵为 3 、计算单元的应变转换矩阵 4、计算单元的应力转换矩阵 5、计算单元的刚度矩阵 同样，可以计算得到单元2的刚度矩阵 syms a E t B=[1 0 0 0 -1 0;0 0 0 1 0 -1;0 1 1 0 -1 -1] B1=B/a D=E*[1 0 0 ;0 1 0;0 0 0.5] S=D*B A=a^2/2 C=B/a K=C*D*B1*t*A syms a E t B=[0 0 1 0 -1 0;0 -1 0 0 0 1;-1 0 0 1 1 -1] B1=B/a D=E*[1 0 0 ;0 1 0;0 0 0.5] S=D*B A=a^2/2 C=B/a K=C*D*B1*t*A 6、组集得到单元的刚度方程为 展开得 7考虑到边界条件解方程 8、计算结果 单元1应力 单元1应变 5.2 轴对称问题基本知识 5.2.1轴对称问题的定义 几何形状 约束情况 所受的外力 轴对称问题是空间问题的一种特殊情况，在实际工程中存在大量的轴对称问题，如飞轮、回转类的压力容器、发动机汽缸套、烟囱及受内压的球壳等，无限大、半无限大的弹性体受集中载荷作用时也可以处理为轴对称问题。 5.2.2 基本变量和基本方程 考察以A点为顶点的微元体，如图所示，由于不发生扭转，沿圆周方向的剪应力和都等于零，所以只有四个应力分量作用于微元体，即 相应的四个应变分量为 三角形单元各分量方向示意图 单元位移函数 参照弹性平面问题有限元法，单元位移函数为 式中 几何方程 旋转体