[工学]B样条曲线曲面1.pdf

3. B样条的定义 Bezier 曲线或曲面有许多优越性，但有以下不足： 所生成的曲线与特征多边形的外形相距较远 局部控制能力弱，因为曲线上任意一点都是 所有给定顶点值的加权平均 控制顶点数增多时，生成曲线的阶数也增高 控制顶点数较多时，多边形对曲线的控制能 力减弱 曲线拼接需要附加条件，不太灵活 B样条曲线是Schocenberg 于1946年提 出的，1972年deBoor和Cox分别给出B样条 的标准算法。作为CAGD的一种形状描述的 数学方法是Gordon和Riesenfeld于1974年 在研究Bézier 曲线的基础上给出的。 3.1 Clark关于B样条的定义 Clark定义B样条的出发点是： 1）对给定点进行逼近而非插值； 2 ）相邻逼近曲线段之间有一定连续性要求； 3.1.1 基函数 设三维空间有一点列（V ，V ，…V ）被 1 2 q 一曲线段序列Pi(t),i=1,2,…,n;t ∈[0,1]所逼近， 要求每段曲线仅由点列中若干顺序排列的点所 控制，且具有以下形式： m P t ( ) f t V( ) ∑ (3.1) i j i j + j 0 其中，fj (t)为对应于顶点Vi+j 的基函数。 我们设f (t)是参数t 的r次多项式，且具有以下形式： j r k ( ) f t a, t [0t,1] ∑ ∈ (3.2) i jk k 0 （3.1 ）和（3.2 ）中的m、r、a 均为待定参数。要确 jk 定这些参数，须对各段曲线施加必要的约束条件 约束条件1： 当每段曲线的m+1个控制顶点重合成一点V 时，曲 线退化为一个点V 。由（3.1 ）得： ⎛ m ⎞ P f t V V ⎜∑( ) ⎟ i ⎜ i ⎟ ⎝j 0 ⎠ 有： m (f )t 1 ≡ (3.3)