[工学]C13-动量矩定理.ppt

§13-1 动量矩 §13-2 动量矩定理 二、质点系的动量矩定理 §13-3 刚体的定轴转动微分方程 §13-3 转动惯量 一、转动惯量的计算 二、回转半径(惯性半径) 三、平行轴定理 §13-4 质点系相对于质心的动量矩定理 §13-5 刚体的平面运动微分方程 如图所示，O为固定点，C为质点系的质心，质点系对于固定点的动量矩为 对于任一质点mi 于是 由于 ri ri rC mi y y x z C O x z vi ri ri rC mi y y x z C O x z vi 它是质点系相对于质心的动量矩。于是得 即：质点系对任一点O的动量矩等于集中于质心的系统动量mvC对于O点的动量矩再加上此系统对于质心的动量矩LC (矢量和)。 质点系对于固定点O的动量矩定理可写成 令 由于 相对 绝对 展开上式, 注意右端项中ri＝rC+ri, 于是上式化为 上式右端是外力对质心的主矩，于是得 因为 于是上式成为 质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。 由刚体平面运动理论知：平面运动刚体的位置可由基点的位置与刚体绕基点的转角确定。取质心为基点，如图所示，则刚体的位置可有质心坐标和j角确定。刚体的运动可分解为随同质心的平动和相对质心的转动两部分。取如图的动坐标系，则刚体绕质心的动量矩为 JC为刚体过质心且垂直于图示平面轴的转动惯量。 y x x y O C D 设作用在刚体上的外力可向质所在平面简化为一平面力系，由质心运动定理和相对质心的动量矩定理得 上式也可写成 y x x y O C D 以上两式称为刚体平面运动微分方程。应用时，前一式取其投影式。即 例15 一均质圆柱，质量为m，半径为r，无初速地放在倾角为q 的斜面上，不计滚动阻力，求其质心的加速度。 解：以圆柱体为研究对象。圆柱体在斜面上的运动形式，取决于接触处的光滑程度，下面分两种情况进行讨论： (1) 设接触处完全光滑 此时圆柱作平动，由质心运动定理 即 得圆柱质心的加速度 C q C x y O q aC FN mg * 第十三章 动量矩定理 引 言 均质轮受外力作用而绕其质心O作定轴转动，它有角速度和角加速度，但对于轮的动量为： 外力的矢量和为： 这个问题不能用动量定理来描述轮绕其质心作定轴转动是的运动。 1 质点的动量矩 质点Q的动量对于点O的矩，定义为质点对于点O的动量矩，是矢量。 x y z q O mv MO(mv) Mz(mv) r 质点动量 mv 在 oxy 平面内的投影(mv)xy对于点O的矩，定义为质点动量对于z轴的矩，简称对于z轴的动量矩，是代数量。 类似于力对点之矩和力对轴之矩的关系，质点对点O的动量矩矢在 z 轴上的投影，等于对 z 的动量矩。 在国际单位制中，动量矩的单位是 kg·m2/s。 [MO(mv)]z＝Mz(mv) 质点系对某点O的动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的矢量和。 2 质点系的动量矩 LO=ΣMO(mv) 质点系对某轴 z 的动量矩等于各质点对同一 z 轴的动量矩的代数和。 LO=ΣMz(mv) 质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的 z 轴上的投影，等于质点系对 该轴的动量矩。 [LO]z= Lz 3 平动刚体的动量矩 刚体平动时，可将全部质量集中于质心，作为一个质点计算其动量矩。 4 定轴转动刚体的动量矩 令 Jz＝Σmiri2 称为刚体对 z 轴的转动惯量, 于是得 即：绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。 例 均质圆盘可绕轴O转动，其上缠有一绳，绳下端吊一重物A。若圆盘对转轴O的转动惯量为J，半径为r，角速度为w，重物A的质量为m，并设绳与原盘间无相对滑动，求系统对轴O的动量矩。 解： LO的转向沿逆时针方向。 一、质点的动量矩定理 设质点对固定点O的动量矩为MO(mv)，作用力F对同一点的矩为MO(F) ，如图所示。 x y z O MO(mv) mv r MO(F) F 　　将动量矩对时间取一次导数，得 因为 所以 又因为 所以 x y z O MO(mv) mv r MO(F) F 　　质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。 将上式投影在直角坐标轴上，并将对点的动量矩与对轴的动量矩的关系代入，得 　　质点对某固定轴的动量矩对时间的一阶导数等于质点所受的力对同一轴的矩。 例1 图示为一单摆（数学摆），摆锤质量为m，摆线长为l，如给摆锤以初位移或初速度（统称初扰动），它就在经过O点的铅垂平面内摆动。求此单摆在微小摆动时的运动