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[工学]huse第六章弯曲变形 武汉理工大学出版 材料力学
挠度和转角符号的规定: 挠曲线:梁变形后的轴线称为挠曲线。 挠度与转角的关系: 对于钢材来说, 采用高强度钢可以显著提高梁的强度, 但对刚度的改善并不明显, 因高强度钢与普通低碳钢的E值是相近的。因此, 为增大梁的刚度, 应设法增大I值。在截面面积不变的情况下, 采用适当形状的截面使截面面积分布在距中性轴较远处, 以增大截面的惯性矩I, 这样不仅可降低应力, 而且能增大梁的弯曲刚度以减小位移。 梁的转角方程和挠曲线方程分 别为: 边界条件为 : ,时 x A B q l RA RB ?A ?B 在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值, 最大转角和最大挠度分别为: wmax 在梁跨中点 处有最大挠度值 例题3:图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在D点处受一集中 力F的作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大 挠度和最大转角. A B F D a b l 解: 梁的两个支反力为 RA RB A B F D a b l 1 2 x x 两段梁的弯矩方程分别为 两段梁的挠曲线方程分别为: 1 ( 0 ?x ? a) 挠曲线方程 转角方程 挠度方程 挠曲线方程 转角方程 挠度方程 ( a ? x ? l ) 2 D点的连续条件: 边界条件: 在 x = a 处 在 x = 0 处, 在 x = l 处, 代入方程可解得: A B F D a b 1 2 RA RB 1 2 将 x = 0 和 x = l 分别代入转角方程左右两支座处截面的转角 当 a b 时, 右支座处截面的转角绝对值为最大 简支梁的最大挠度应在 处 先研究第一段梁, 令 得 当 a b时, x1 a 最大挠度确实在第一段梁中 梁中点 C 处的挠度为 结论: 在简支梁中, 不论它受什么荷载作用, 只要挠曲线上无 拐点, 其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替, 其精确度是能满足工程要求的. 对各段梁,都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上 的外力来写弯矩方程的.所以后一段梁的弯矩方程包含 前一段梁的弯矩方程.只增加了(x-a)的项. 对(x-a)的项作积分时,应该将(x-a)项作为积分变量.从 而简化了确定积分常数的工作. 积分法的原则 §6–4 用叠加法求弯曲变形 ( Beam deflections by superposition ) 梁的变形微小, 且梁在线弹性范围内工作时, 梁在几项荷载 (可以是集中力, 集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角, 就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加. 当 每一项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿y轴方向), 其转角 是在同一平面内(如均在 xy 平面内)时,则叠加就是代数和. 这就 是叠加原理. 一、叠加原理 (superposition ) : 1、载荷叠加:多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和. 2、结构形式叠加(逐段刚化法) 1、 按叠加原理求A点转角和C点挠度. 解:(1)载荷分解如图 (2)由梁的简单载荷变形表, 查简单载荷引起的变形. B q F A C a a F = A B + A B q (3)叠加 q F F = + A A A B B B C a a q 例题5:一抗弯刚度为 EI 的简支梁受荷载如图 所示.试按叠加原理求梁跨中点的挠度 wC 和支座处横截面的转角 ?A , ?B 。 A B C q m l 解:将梁上荷载分为两项简单 的荷载,如图所示 A B C q m (a) l B A m (c) l A q (b) B l C C ( ) ( ) ( ) 例题:一抗弯刚度为 EI 的外伸梁受荷载如图所示, 试按叠加原理并利用附表,求截面B的转角?B以及A端和 BC 中点 D 的挠度 wA 和 wD . A B C D a a 2a 2q q 解:将外伸梁沿 B 截面截成两段,将AB 段看成 B 端固定的悬臂梁,BC 段看成简支梁. A B C D a a 2a 2q q B C D q 2qa 2q A B 2qa B截面两侧的相互作用为: 就是外伸梁AC的 ?B,wD 简支梁BC的受力情况与外伸梁AC 的BC段的受力情况相同 由简支梁BC求得的?B,wD 2qa B C D q q B C D B C D 简支梁BC的变形就是MB和均布荷载q分别引起变形的叠加. 由叠加原理得: D B C 2qa B C D q D B C (1)求 ?B ,wD (2) 求wA 由于简支梁上B截面的转动,带动AB
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