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* * 弯曲应力 第六章 基 本 要 求 1.明确纯弯曲和横力弯曲的概念，掌握推导弯曲正应力公式的方法。 2.熟练掌握弯曲正应力的计算、强度条件及其应用。 3.掌握常用截面梁横截面上最大剪应力计算和弯曲剪应力强度的校核方法。 4.了解提高梁强度的一些主要措施。 §6.1 梁的纯弯曲 CD段： 弯矩为常量，剪力为零。 请看一个实例 这种弯曲称为纯弯曲。 AC、DB两段： 这种弯曲称为横力弯曲。 同时存在弯矩和剪力。 因此这种弯曲情况下，很截面上只有正应力 §6.2 纯弯曲时的正应力 一、实验观察 （1）变形后，横截面仍保持为平面。但横截面间发生转动。 （2）同一层（高度）的纤维变形相同，即曲率相同。 （3）矩形横截面上宽下窄。 二、两个假设 （1）平面假设 （2）纵向纤维互不挤压假设，即单向拉压。 三、理论分析 1、变形几何关系 中性层：梁中纤维即不伸长也不缩短的那层。 中性轴：中性层与横截面的交线。 ρ ：中性层的曲率半径。 依然从以下三方面来分析： 变形后： 变形前： 即： 由实验观察，横截面变形后仍保持为平面，且仍与轴线垂直，γ=0 求距中性层为 y 处的纤维 的变形： 2、物理关系 由假设（2），知各纵向纤维为单向拉压，所以在弹性范围内有： 说明： 到这一步，我们可推知正应力σ随y 的变化规律，但还不能确定其值。 y 该空间力系中 已经自动满足。 另有： 所以由（1）式： 说明中性轴过形心 3、静力学关系 由（2）式： 由于y轴是对称轴，此式自然满足。 由（3）式： 由静力学关系得到 由变形几何关系得到 由物理关系得到 综上分析，可以得到梁纯弯曲时横截面上的弯曲正应力计算公式： 几 点 说 明 （1）纤维变形及应力都随y的增大而增大。若y为负，则产生压缩变形，应力为压应力。 （2）公式适用于比例极限范围内 ，外力过主形心惯性平面。 （3）当梁的 l 5h 时，上述公式可以推广到横力弯曲。 （4）σ、y 的符号由变形来判断。 （5）由公式推导可知，公式不仅适用于矩形截面，而且适用于其它一些截面，如：T字形梁，工字形梁，圆截面梁，等等。同时我们可以给出各种梁的正应力分布情况。 （6）一些工程实例： 大桥做成拱状。赵州桥，最早的石拱桥。 水泥预制板，中间做空，下面加筋（钢筋或竹筋） 梁式起重机大梁，箱形截面或工字形截面。 §6.3 横力弯曲时的正应力 横力弯曲时，在弯矩最大的截面上离中性轴最远处发生最大正应力 由于切应力对横截面上各点的弯曲正应力影响很小，所以对于横力弯曲仍可以沿用纯弯曲正应力公式： W称为抗弯截面系数，单位是m3或mm3 。 对于宽为b高为h的矩形截面： 对于直径为d的圆形截面： 限定最大弯曲正应力不得超过许用应力，于是强度条件为： 设σt 表示拉应力，σc 表示压应力，则： 塑性材料， [σt]= [σc]= [σ]； 所以，工程中，一般对塑性材料选用中性轴同截面对称轴重合的截面形状。对脆性材料，则不将对称轴作中性轴，以充分利用材料的性能，使设计更经济合理。 脆性材料， [σt]≠ [σc]，且[σt] [σc] 弯曲正应力强度条件的应用： 1、强度校核 2、梁的截面尺寸设计 3、求解许用载荷 已知：P=10KN，a=1.2m [σ]=10MPa，h/b=2 例1 试：选择梁的截面尺寸。 解： 由对称性，可得： 作弯矩图，由图可得： 由强度条件 得： 故： 选取截面为： 已知：l=1.2m[σ]=170MPa，18号工字钢，不计自重。 例2 求：P 的最大许可值。 解： 作弯矩图，由图可得： 得： 故： 查附录A表4， 由： 已知：P1=8KN， P2=20KN， a=0.6m， IZ=5.33×106mm4 [σb]=240MPa， [σbc]=600MPa ，安全系数n=4。 例3 试：校核梁的强度。 解： 作弯矩图，由图可得危险截面弯矩： 许用应力为： 很容易求出： 校核强度： 截面A下边缘： 截面A上边缘： 截面C下边缘： 满足强度要求 §6.4 弯曲切应力 一、矩形截面梁的切应力 式中： 设距离中性轴为y的横线上切应力为τ： d z y 若Q已知, 则有: 二、工字形梁的切应力 此部分可近似运用矩形公式，它相当于几个矩形所构成，但矩形梁的条件是：hd所以仅有腹板可以用. 说明: （1）腹板最上面的剪应力不等于翼缘最下面的剪应力，翼缘上不能用上述公式。 （2）翼缘最外边缘处剪应力为零，中间部分的剪应力也很小，可忽略，但是水平剪应力却较大，可用开口薄壁杆件的剪应力公式求之 （3）由于hb，