[工学]《系统建模与仿真》第3次课_第二章2.ppt

则 和 均为常数，即 （2.147） 由式（2.146）可得 （2.148） 设 （2.149） 若系统阶次为n时已经求出 ，则系统阶次 数为n+1时有 （2.150） 式中 （2.151） 设 （2.85） 则式（2.84）可写成 （2.86） 在测量 时也有测量误差，系统内部也可能有噪声，应当考虑它们的影响。 因此假定 不仅包含了 的测量误差，而且还包含了 的测量误差和系统内部噪声。假定 是不相关随机序列（实际上 是相关随机序列）。 现分别测出n+N个输出输入值 ， 则可写出N个方程，即 上述N个方程可写成向量-矩阵形式 （2.87） 设 则式（2.87）可写为 （2.88） N维输出向量 2n+1维 参数向量 N维噪声向量 N×(2n+1)维 测量矩阵 式中：y为N维输出向量； 为N噪声向量； 为（2n+1）维参数向量； 为 测量矩阵。因此式（2.88）是一个含有（2n+1）个未知参数，由N个方程组成的联立方程组。如果N2n+1，方程数少于未知数数目，则方程组的解是不定的，不能唯一地确定参数向量。如果N=2n+1，方程数正好与未知数数目相等，当噪声 时，就能确定地解出 （2.89） 如果噪声 ，则 （2.90） 从上式可以看出噪声 对参数估计有影响，为了尽量减小噪声 对估值 的影响，应取N(2n+1)， 即方程数目大于未知数数目。在这种情况下，不能用解方程的办法来求 ，而 要采用数理统计的办法，以便减小噪声对估值的影响。在给定输出向量y和测量矩阵 的条件下求系统参数 的估值，这就是系统辨识问题。可用最小二乘法或极大似然法来求 的估值，在这里讨论最小二乘法估计。 2.5.1.2 最小二乘辨识算法 设 表示 的最优估值， 表示y的最优估值，则有 （2.91） 式中 写出式（2.91）的某一行，则有 （2.92） 设 表示 与 之差，即 （2.93） 式中 称为残差。 把 分别代入式（2.93）可得残差 ， ，…， 。 设 则有 （2.94） 最小二乘估计要求残差的平方和为最小，即按照指标函数 （2.95） 为最小来确定估值 。求J对 的偏导数并令其等于0可得 （2.96） （2.97） 可得 的最小二乘估计 （2.98） J为极小值的充分条件是 （2.99） 即矩阵 为正定矩阵，或者说矩阵 是非奇异的。 下面举例说明最小二乘法的计算过程。 [例4.1]已知某一单输入单输出线性系统的差分方程形式为 但其参数 ， ， 为未知数，且 为不相关的随机序列。经过辨识试验，测得5组输入输出数据为 试求出其最优参数估计。 [解] 令最优参数估计为 ， 令输出 的最优估计为 。 测量矩阵为 该矩阵的转置为 两者之积为 的特征值为 ， ， 。 由于它的特征值均为正数， 所以 为正定矩阵， 满足残差二次型 取最小的充分条件， 其中 。 根据残差二次型 取最小的必要条件 可得最优参数估计为 矩阵 的逆为 于是 最后求得 即最优参数估计为 2.5.1.3 最小二乘辨识中的输入信号问题 当矩阵 的逆阵存在时，式（2.98）才有解。一般地，如果 是随机序列或伪随机二位式序列，则矩阵 是非奇异的，即 存在，式（2.98）有解。现在从矩阵 必须是正定的这一要求出发，来讨论对 的要求。在这里为了方便起见，假定 是均值为0的随机过程。 可以推出矩阵 为正定的必要条件是： 为持续激励信号。（推导过程略） 随机序列或伪随机二位式序列都可以作为测试信号 。 2.5.1.4 最小二乘估计的概率性质 如果ξ(k)是不相关随机数序列，且均值为0。 1） 无偏性 2）一致性 3） 渐进正态性性 辅助变量法、广义最小二乘法 如果ξ是均值为0且服从正太分的白噪声向量，则最小二乘参数估计值服从