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[工学]《高等数学》竞赛试题解答
《高等数学》竞赛试题解答
计算题(每小题15分,满分60分)
1. 计算:
解:
易知
对进行变量代换,令则当时并且
因此有
由夹逼原理得
2.确定自然数的取值范围,使函数在处的二阶导数存在。
解:要使函数在处可导,应满足以下条件:
当时,对任意自然数,都存在
, ①
由于,要使此极限存在,应满足②
由①,②知在处的二阶导为
要使以上极限存在,应满足 ③
由②,③知要使在处的二阶导存在,的取值范围为:。
3. 计算二重积分
解:令抛物线将区域分成和两块,其中
在中,而在中
于是
4.求级数.
解:令则的收敛半径于是原级数的收敛半径
时,由于故该级数的收敛区域为
二、(本题满分20分)设函数在内具有一阶连续导数,是上半平面内的有向分段光滑曲线,的起点为终点为记
1)证明曲线积分与路径无关;
2)当时,求的值。
1)证明:由于
在上半平面内处处成立,所以在上半平面内曲线积分与路径无关。
2)解:由于曲线积分与路径无关,故可取路径为:由点到点再到点所以
令则
由条件,得
三、(本题满分20分)证明不等式其中为正方形区域:
证明:由于关于对称,由对称性可知
故
由于当时,所以
从而结论成立。
四、(本题满分20分)已知曲线与处的切线相同,求此切线方程,并求 其中为一非零常数.
解:设,故
在点处的切线方程为:
得故
定义在上,在内存在且单调下降,又证明:对于恒有
证明:由于,在上存在,由L—中值定理,使得 ①
同理可知,使得
②
由于函数单调下降,且故有于是得
由以上①,②两式得:
即:
六、(本题满分15分)求级数的和。
解:,
由得:
设,则
所以
于是由 得
大学生高等数学竞赛试题
注:共10题,每题10分。
一、求
二、讨论在处二阶导性
三、求证:……=1在(0,1)内必有唯一根……)并求
四、其中 求
五、设求与轴围成封闭圆形的面积
六、在曲面上求一点,使它到平面的距离最短。
七、证明:时 有
八、求幂数的和函数,并指出其收敛域。
九、设空间曲线是由立方体的表面与平面相交面构成,试计算
十、设函数在上连续,在()内可微,试证存在使
、高等数学竞赛试题
计算题
求。
设,求。
求。
求。
求满足下列性质的曲线C:设为曲线上任一点,则由曲线所围成区域的面积A与曲线和C所围成区域的面积B相等。
求,其中的上半平面内部分,从点到。
证明:。
设在上可导,且。证明:存在内的两个数与,使。
从正方形四个顶点,开始,构造,使得为的中点,为的中点,为的中点,,为的中点。这样,我们得到点列收敛于正方形内部一点,试求的坐标。
高等数学竞赛试题1
一.填空(共20分,每题4分)
1. .
2. .
3.已知为自然数)在点可导,则 , .
4.曲线在点处的法线方程为 .
5. 已知 则 .
二.单选题(共24分,每题4分)
1.当时,下列函数与等价的是 ( )
(A) ; (B) ; (C) ; (D) .
2.设下列各式中出现的导数都存在,则不正确的是 ( )
(A) ; (B) ;
(C) ; (D) .
3.设在点的某邻域内有定义,且,为常数,则下列结论不正确的是 ( )
(A) 在点连续; (B) 在点可导,且;
(C) 在点可微,且; (D) .
4.设,且则当时,有 ( )
(A) ; (B)
(C) ; (D) .
5.已知函数在区间内具有二阶导数,严格单调减少,且,则 ( )
(A) 在和内均有;
(B) 在和内均有;
(C) 在内,,在内,;
(D) 在内,,在内,.
6、设函数f(x)在内连续,其导函数
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