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[工学]代数1
第 1 章 矩阵 1.1 矩阵及其运算 1.1.1 矩阵的概念 1.1.2 矩阵的加法与数量乘法 数与矩阵相乘 例1.6 设 例1.7 第i行 第j列 cij 注意: AB=? 无意义 行数时, 两个矩阵才能相乘. 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的 注意: 例1.8 的矩阵 的矩阵相乘 与 的矩阵与 的矩阵相乘 当n=m时 当n≠m时 不能相乘 矩阵不满足交换律,即 故 矩阵乘法的运算规律 性质1 性质2 下证: 设 则 证明 故 而 (其中l为数); 性质3 性质4 例1.9 请把线性方程组写成矩阵相乘形式. 线性方程组 系数矩阵 线性变换 系数矩阵 可记作 (无交换律). ? 例如 0 0 0 0 但 矩阵乘法应注意的几点: (无消去律) ? 例如 且 但 若 若 下面介绍矩阵的方幂. 若A是n阶方阵,则Ak为A的k次幂, 即 方幂的运算规律 ? m个 注意: m, k为正整数. 定义1.10 k个 例如 求AB. 解 AB 一般地, 若 则 A是n阶方阵, 记 矩阵多项式 若 设 则 (3) ? ? ? ? ? ? 是x的 若A是n阶方阵, 称为方阵A的n次多项式. 方阵A的n次多项式: 设 注意:f (A)是一个方阵而不是一个数. 定义 1.11 n次多项式, 例如 方阵A的2次多项式. 方阵A的3次多项式. 例1.10 求矩阵的方幂An : 解 = O . 例1.11 设 求 解法1 归纳法,猜想 当n = 1时,公式成立; 当n 1时,设公式对n-1成立, 则 故猜想正确. 解法2 设 B = 则 A = E+B. 因为 BE = EB, 故矩阵二项式公式成立. 当 k 2时, 称为A的转置矩阵, 记作AT . 定义1.12 transpose 1.1.4 矩阵的转置 把矩阵A的列换成同序数的行得到的新 矩阵, 例如 转置矩阵的运算性质 记 第i行 第j列 原第i列 原第j行 对称矩阵与反对称矩阵 定义1.13 若方阵A满足条件 则A称为对 称矩阵; 若满足条件 则A称为反对称矩阵. 设 A是对称阵当且仅当 A是反对称阵当且仅当 例如 是对称阵 是反对称阵. 例1.12 设 证明 因为A是实矩阵,所以 a = b = c = d = 0, 即A = O. 一般地,设A是实矩阵, 若 则A= O. 是实矩阵,若 则 A = O. 定义1.14 共轭矩阵运算性质 (设 为复矩阵, 为复数,且运算都是可行的): 的共轭 表示 为复矩阵时, 用 当 复数, 记 称为 为A的共轭矩阵. 1.1.5 共轭矩阵 定义1.15 设 是复矩阵, 或转置复共轭矩阵 称为A的Hermite(埃尔米特)共轭 即 例如 Hermite共轭矩阵与转置矩阵有类似的性质: (1) (2) (3) (4) 是数. A的复共轭转置矩阵 矩阵, 记为 定义1.16 设 是复方矩阵,若复方阵A满足 则称A为Hermite矩阵. 例如 A是Hermite矩阵. 1. /kc.do?id=710 线性代数课件网址: 2. 本科教学网——精品课程——申报精品课程 ——2009年北京市精品课程申报 ——线性代数——课件 北京科技大学《线性代数》课程组 1.1.1 矩阵的概念 1.1.2 矩阵的加法与数量乘法 1.1.3 矩阵与矩阵的乘法 1.1.4 矩阵的转置 1.1.5 共轭矩阵 在生活中存在很多数表: 例1.1 某城市有4个县城, 所示为公路网中各段公路的 城E1 , E2 ,E3 , E4 , 线的数字表示两地公路的总里程. 市政府决定修建公路网. 图1.1 里程数(单位: km); 其中五个 圆分别表示城市O与四个县 图中两圆连 E1 E2 E3 E4 O 63.5 61 54 57 55.3 84 101 63 102 64 图1.1 图1.1可用下面的矩形数表表示: E4 E3 E2 E1 O E4 E3 E2 E1 O 0 61 101 63 54 61 0 63.5 64 84 101 63.5 0 55.3 102 63 64 55.3 0 57 54 84 102 57 0 E1 E2 E3 E4 O 63.5 61 54 57 55.3 84 101 63 102 64 图1.1 例1.2 求解方程组 ① ② ③ (1.1) 解 采用消元法求解, ②+①,③-① ,得 ① ② ③ (1.2) 形如式(1.2)的方程组称为阶梯形线性方程组. 采用回代法求解阶梯形方程组. 由式(1.2)中的③知 z =1, 将其回代②,得y = 2, 再回代①,得
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