[工学]吴继娟数字逻辑 第02章逻辑代数基础.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 2.3 逻辑代数的 基本定理及规则 2.3.1 逻辑函数的相等 如果两个逻辑函数 F 、G具有相同的逻辑变量，且对任何一组变量取值，F和G的值都相等，则F = G。 ? 例：下面的两个函数相等： A B C F G 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 2.3.2 逻辑代数的基本定理 逻辑代数的公理：从逻辑代数的基本运算法则出发，经 推导得出的、具有普遍使用意义的逻辑运算规律。 公理名称 基本式 对偶式 1 0-1律 2 重叠律 3 互补律 4 交换律 5 结合律 对偶： 将基本式中的“＋”换成“ ? ”，“ ? ”换成“＋”， 0换成1，1换成0，便得到对偶式。 先列出前5条公理： 1~5的证明： 用枚举法。 例：证明重叠律。 已知变量A 的取值仅有1或0两种。 将A=0代入 A+A=A 有：0+0=0，等式成立； 将A=1代入 A+A=A 有：1+1=1，等式成立； 即无论A为0还是A为1等式均成立，重叠律得证。 公理名称 基本式 对偶式 6 分配律 7 对合律 8 吸收律 用推理法可证明6~7式。 例：证明吸收律。 吸收律得证。 公理（续） 公理名称 基本式 对偶式 9 消去律 10 并项律 11 包含律 用推理法可证明9~11式。 例：证明消去律。 消去律得证。 公理（续） 逻辑函数 1 逻辑函数的定义 若逻辑变量F 的值由逻辑变量A1、A2、…、An的值所决 定，则称 F 为 A1、A2、…、An的函数，记为 F 值也只能为 0 或 1 。 用逻辑电路实现逻辑函数 输 入 输 出 逻辑函数 用逻辑表达式表达此逻辑命题： 逻辑命题： A、B 两人对某问题发表的意见，否定记为0，肯定记为1； F 为结果，意见不同时F 的值为0，相同时F 的值为1。 用真值表表达此逻辑命题： A B F 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 特点：简洁、便于运用公理计算。但不够直观。 特点： 直观。但当变量多时规模大。 2.逻辑函数的表示法 用卡诺图表达此逻辑命题： F 注意：卡诺图在分析和设计逻辑电路中具有重要地位。 例如： A=0 的行和 B=0 的列相交的小方格的值为1，表示： 当A=0、B=0时F的值为1 2.3.3 逻辑代数的三个规则 代入规则 在任一逻辑等式中，如果将等式两边所有出现的某一变量都代之以一个逻辑函数，则此等式仍然成立，这一规则称之为代入规则。 例如，给定逻辑等式A(B+C)=AB+AC，若等式中的C都用(C+D)代替，则该逻辑等式仍然成立，即 A（B+(C+D)）= AB+A(C+D) 2.3.3 逻辑代数的三个规则 反演规则 如果将一个函数表达式中的原变量换成反变量，反变量换成原变量；将“＋”运算换成“?”运算，“?”运算换成“＋”运算；将常量“1”换成“0”，“0”换成“1”，则得到的新函数是原来函数的反函数。 例：运用反演规则，有： 对偶定理 如果将一个函数 f 中的“＋”运算换成“?”运算，“?”运算换成“＋”运算；将常量“1”换成“0”，“0”换成“1”，但变量保持不变，则得到的新函数称为原来函数的对偶函数，记为 f ′。 例： 对偶函数为： 推论： 1. 2. 若 ，则 。 若有 ，则 f 称为自对偶函数 。 例： 是自对偶函数 　　对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。例如： 　　注意：在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非运算，否则容易出错。 2. 4 逻辑函数的标准形式