[工学]向量空间.ppt

向量、向量组与矩阵 定理 反例： 练习 例 4 三、向量空间的基与维数 向量在基下的坐标 例 例 本章小结 三. 向量组的秩及性质 试求向量 在 的一组基 下的坐标. 解 用初等行变换法解此矩阵， 故 在基 下的坐标为（-1，-1，3）, 因此 定理 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩. 证 设A = (α1,α2,…,αm ), R(A) = r ,设 r 阶子式 Dr≠ 0 . 知Dr所在的r列线性无关；又由A中所有r+1阶子式均为零，知 A中任意 r+1个列向量都线性相关. 因此Dr所在的 r 列是 A的列向量组的一个极大无关组,所以列向量组的秩等于r. 同理可证矩阵A的行向量组的秩也等于R(A) . 由此可见：若Dr是矩阵A的一个最高阶非零子式，则Dr所在的r列即是列向量组的一个极大无关组， Dr所在的r行即是行向量组的一个极大无关组. 注：向量组α1,α2,…,αm 的秩也记作R(α1,α2,…,αm ). 向量组秩的定理 例如 设向量组 把向量组拼成矩阵，即 显然R(α1,α2) = 2, 知 α1, α2线性无关；由 R(α1,α2, α3) = 2 知α1,α2, α3线性相关 .因此 α1, α2 是向量组 α1,α2, α3的一个极大无关组. 此外， R(α1,α3) = 2 及 R(α2,α3) = 2 可知α1,α3和α2,α3都是向量组 α1,α2, α3 的一个极大无关组. 性质1 向量组是线性无关的充分必要条件是向量组的秩数等于向量组中向量的个数. 性质2 向量组与其极大无关组等价. 证 设向量组A0： α1,α2,…,αr是 A的极大无关组，则A0是A的部分组,故 A0 总能由 A 线性表示；由极大无关组的定义知，对于A中任意向量 α ，r+1个向量α1,α2,…,αr, α 线性相关，而α1,α2,…,αr线性无关，所以α 能由α1,α2,…,αr线性表示，即向量组A能由A0线性表示.所以向量组A与A0等价. (极大无关组的等价定义) 设向量组A0? a1? a2? ???? ar是向量组A的一个部分组? 且满足(1)向量组A0线性无关? (2)向量组A的任一向量都能由向量组A0线性表示? 那么向量组A0便是向量组A的一个极大无关组? 例1 全体 n 维向量构成的向量组记作Rn,求Rn的一个极大无关组和Rn的秩. 解 我们已经证明了n维单位坐标向量构成的向量组 E: e1,e2,…,en 是线性无关的，而任意 n+1 个 n 维向量都线性 相关，因此向量组 E 是 Rn 的一个极大无关组，且 Rn 的秩等于 n. 显然，任何 n个线性无关的n 维向量都是Rn的极大无关组，故 Rn 的极大无关组有无穷多个. 例2 设齐次线性方程组 的全体解向量构成的向量组为S? 求S的秩? 解 线性方程组的通解为 因为?1? ?2的四个分量显然不成比例? 故?1? ?2线性无关? 又因为S能由向量组?1? ?2线性表示? 所以?1? ?2是S的最大无关组? 从而RS?2? 其中c1? c2?为任意常数? 把上式记作x?c1?1?c2?2? 知 S?{x| x?c1?1?c2?2? c1? c2?R}? 例3 设矩阵 求矩阵A的列向量组的一个极大无关组，并把不是极大无关组的列向量用极大无关组线性表示. 解 对A施行初等行变换，使之变成行阶梯形矩阵 A～ 显然R(A) = 3,故列向量组的极大无关组含 3个解向量.而三个非零行的非零首元在1、2、4三列，故 α1, α2, α4为列向量组的一个极大无关组.这是因为： 知 R(α1,α2,α4 ) = 3,故α1,α2,α4线性无关. 为把α3,α5用α1,α2,α4线性表示，把A再变成最简形矩阵 即得 α3 = －α1－α2 α5 = 4α1 + 3α2－3α4 A～ 设有两个向量组 若向量组 可由向量组 线性表示，且 ，则向量组 一定线性相关. 证 因为 可由 线性表示， 其中 定理 设向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量组A的秩. 证 设向量组 B 和A 的一个极大无关组分别为 B0 : b1, b2,…, br , A0 : α1,α2,…,αS , 要证r ≤ s . 因B0组能由 B组线性表