[工学]复习第1-6章典型例题.ppt

第1-4章 典型例题 行列式计算 矩阵方程求解 向量组的极大无关组及表示 含参数线性方程组的解的讨论与求解(转化为向量组) 第5、6章 典型例题 P 194 2 P191 例1 P204 4 例3 求向量 一个最大无关组,并把其余 向量用该最大无关组表出. 矩阵的秩=? 线性无关吗? 是最大无关组吗? 阅读书P109例3 是右边的最大无关组 是左边的最大无关组 总结 矩阵的行初等变换不改变矩阵的列向量组的线性关系。 引理2 定理3.3.2 注: 以前我们把向量组与它们排成矩阵的符号混用，而且把它们的秩的符号也混用正是由于三秩相等这个原因。但对于无限向量组符号就不能混用了。 向量组的秩与矩阵秩的关系 三秩相等定理 证(以前证过) 例2 证明齐次方程组的解集 是一个向量空间. 以后称为齐次方程组的解空间. 定义 设 是一向量组, 称 为由该向量组生成的(或张成的)向量空间.记为 特别地, 由矩阵 A 的列向量生成的向量空间称为 A的列空间(或称像空间或称值域).记为R(A) 六、正交矩阵 定义 正交矩阵. A 是正交矩阵 定理 A 的列组是规范正交组 A 的行组是规范正交组 非齐次方程组解的存在性定理 定理4.1.1 对于非齐次方程组 (4-1) 向量 可由A的列向量组 线性表示。 定理4.1.3 对于齐次方程组 (1) A的列向量组线性无关 (2) A的列向量组线性相关 推论1 当方程的个数m小于未知量的个数n，则(4-3) 必有非零解。 例3 证明 设 , 首先证明 利用这一结论 证 重要结论 例4 求一个齐次方程组, 使它的基础解系为 记之为 AB=O ,这相当于要解矩阵方程, 习惯把未知 的 A 放在右边, 转置 ,只需解 然后再把这些解拼成 的列( A 的行)即可. 解 得基础解系 设所求的齐次方程组为 , 则 取 即可. 解 例7 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 已知 是它的三个解向量, 且 求该方程组的通解. 解 取 , 则它就是解,从而也是基础解系. 基础解系所含向量个数 = 4 – 3 = 1 故非齐次方程组的通解为 线 性 代 数 例12 解 注： (1) (2) 计算 n 阶行列式 解 将第 列都加到第一列上,得 例7 特征1：对于所有行（列）元素相加后相等的行列式，可把 第2行至n行加到第一行（列），提取公因子后在简化计算。 爪形行列式 例8 特征2：第一行，第一列及对角线元素除外，其余元素全为零的行列式称为爪型行列式。 范德蒙德(Vandermonde)行列式 例9 从最后一行开始,每行减去上一行的 倍. 按最后一列展开再提取每列的公因子 例5 证明 A 和 A+2E 都可逆 , 并求其逆. 设方阵 A 满足 证 例6 设 A , B 和 A+B 均可逆 , 证明 也可逆,并求其逆. 证 例7 设A为3阶方阵 , , 求 解 设 即有初等矩阵 使得 问 作一次行变换 再作一次行变换 继续… 考虑对 作行变换 求逆矩阵的初等变换法 解矩阵方程 解 例12 证 例8 (5) 设 A 是 n 阶方阵 其中 都是方阵,则称A为分块对角矩阵. 例1 时， 有无穷多解。 ， 时， 无解。 ， 时， 有无穷多解。 问 a , b 为何值时, 方程组有解, 无解。 解 ： 例5 解：系数矩阵是方阵首选行列式法 问 为何值时，方程组有唯一解，无解，无穷多解。有无穷多解时，求通解。 分析：当 时有唯一解，当 时，此时系数矩阵中的参数已确定，方程组可能无解，也可能有无穷多解，这取决于右端项。再用初等行变换法加以判别。 当