[工学]复变函数课件第二章.ppt

使用时: i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性， ii) 验证C-R条件. iii) 求导数： 前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的. 推论 ： 三. 举例 例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析： 解 (1) 设z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 则 解(2)∵ f (z)=ex(cosy +isiny) 则 u=excosy, v= exsiny 仅在点z = 0处满足C-R条件，故 解 (3) 设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则 例2 求证函数 证明 由于在z≠0处，u(x,y)及v(x,y)都是可微函数， 且满足C-R条件： 故函数w=f (z)在z≠0处解析，其导数为 例3 证明 例4 如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函数， 且f ?(z)≠0，那么曲线族u(x, y)=C1， v(x, y)=C2必互相正交，这里C1 、 C2常数. 那么在曲线的交点处，i)uy、 vy 均不为零时， 由隐函数求导法则知曲线族 u(x, y)=C1， v(x, y)=C2中任一条曲线的斜率分别为 解 利用C-R方程 ux=vy, uy=-vx 有 k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)= -1，即：两族曲线互相正交. ii) uy，vy中有一为零时，不妨设uy=0，则k1=∞， k2=0（由C-R方程） 即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另 一条是铅直的, 它们仍互相正交。 例如 两族分别以直线y=?x和坐标轴为渐近线的等轴双曲线x2-y2 = c1, 2xy = c2 互相正交。 1 -1 -1 -10 -8 -6 -4 -2 x 2 4 6 8 v=10 1 y -10 -8 -6 -4 -2 u=0 2 4 6 8 u v 10 10 -10 -10 a=2 , b=-1 , c=-1 , d=2 练习: 解析函数退化为常数的几个充分条件： (a)??? 函数在区域内解析且导数恒为零； (b)??解析函数的实部、虚部、模或辐角中有一个恒为常数； (c)??? 解析函数的共轭在区域内解析。 定义 定理 §2.3 调和函数 证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析，则 即u及v 在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程: 定义 上面定理说明： 由解析的概念得： 现在研究反过来的问题： 如 定理 公式不用强记！可如下推出： 类似地， 然后两端积分得， 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解 析函数的关系。 例1 解 曲线积分法 故 又解 凑 全 微分 法 又解 偏 积分 法 又解 不定 积分 法 §2.4 初等函数 本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它的解析性。 一. 指数函数 它与实变指数函数有类似的性质： 定义 这个性质是实变指数函数所没有的。 * * * * 第二章 解析函数基础 §2.1 复变函数的导数 (1)导数定义 定义 设函数w=f (z) z∈D, 且z0、 z0 +Δz∈D， 如果极限 存在，则称函数 f (z)在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数， 记作 如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称 f (z)在区域D内可导。 (1) Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。 (2) z=x+iy,Δz=Δx+iΔy, Δf=f(z+Δz)-f(z) 例1 (2)求导公式与法则 ① 常数的导数 c?=(a+ib)?=0. ② (zn)?=nzn-1 (n是自然数). 证明 对于复平面上任意一点z0，有 ----实函数中求导法则的推广 ③ 设函数f (z),g (z) 均可导，则 [f (z)±g (z)]? =f? (z)±g?(z)， [f (z)g(z)]? = f? (z)g(z) + f (z)g?(z) ④复合函数的导数 ( f [g(z)])? =f? (w)g?(z)， 其中w=g(z)。 ⑤ 反函数的导数 ，其