[工学]大学物理下 第13章 量子力学基础.ppt

波函数在ⅠⅡⅢ三个区域表示式为： 波函数边界条件： Ⅰ Ⅱ Ⅲ 波函数满足的薛定谔方程分别为： 令： 得三个方程分别为： 上三方程的解分别为： (11-43a) (11-43b) (11-43c) 式(11-43a)及(11-43b)两边同乘上 入射波 得： 反射波 Ⅲ区域不存在反射波，则C2=0。 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅱ区域 随x 增大无限增大，取B2=0 4）波函数具有波的特性，满足叠加原理： 粒子在空间出现的概率分布不是概率相叠加，而是概率幅的叠加： 相应的概率分布为： 电子的干涉(衍射)效应是波函数叠加造成的一种量子效应。 二、力学量的算符表示 波函数只能提供粒子的概率信息，当粒子处于某一状态时，相应的力学量(坐标、动量、能量等)一般不具有确定值，只能以一定概率获得一系列可能值，通过这些可能值可求得该力学量的平均值。 一切力学量在量子力学中均有相应算符。 坐标表象波函数： 用空间坐标和时间作为自变量的波函数。 坐标算符： 动量表象波函数： 用动量和时间作为自变量的波函数。 动量分量算符： 动量： 动量算符： 能量算符： 动能算符： 哈密顿函数： 哈密顿算符： 直角坐标系中角动量算符： 直角坐标系中角动量分量算符： 角动量平方的算符： 三、薛定谔方程 薛定谔（Erwin Schrodinger，1887—1961）奥地利物理学家. 1926年建立了以薛定谔方程为基础的波动力学,并建立了量子力学的近似方法 . 1933年与狄拉克获诺贝尔物理学奖. 3.1、薛定谔方程的一般形式 自由粒子沿x 方向运动的波函数： 对x 取二阶偏导： 对t 取一阶偏导： 1.薛定谔方程的一般形式 自由粒子沿x 方向运动的波函数： 自由粒子沿x 方向运动的薛定谔方程： 自由粒子做三维运动的薛定谔方程： 保守力场中运动的粒子： 2.定态薛定谔方程 定态：粒子的概率密度分布不随时间变化的状态，即粒子能量E 和动量p 不随时间变化的状态。 自由粒子在稳定势场中运动是定态问题。 定态运动的振幅函数： 定态运动的概率密度： 称为粒子的定态波函数。 1）粒子作一维运动的定态薛定谔方程 粒子定态波函数 对x 取二阶偏导： v c 时，p2=2mEk，得 粒子在稳定势场中运动时，总能量E=Ek+U —— 粒子作一维运动的非相对论定态薛定谔方程 2）粒子作三维运动的定态薛定谔方程 粒子做三维持运动定态波函数 粒子做三维运动的定态薛定谔方程： 非相对论的定态薛定谔方程： 整理得： 薛定谔方程的另一表达式： §11-3 定态薛定谔方程和驻波思想的应用 一、一维无限深势阱 1.用定态薛定谔方程求解 势函数为 x ≤ 0，x ≥ a 0 x a 波函数边界条件： 在0 x a区域定态薛定谔方程为： 令 解为： 由波函数边界条件： 得： 由波函数归一化条件： 得 得处于一维无限深势阱中粒子状态的波函数： 由 得粒子能量： 表明：束缚在势阱内的粒子能量只能取一系列分立值，即能量量子化。 能量的每一值对应于一个能级，这些能量值称为能量本征值。 φn(x)是哈密顿算符 的本征函数，En是哈密顿算符的本征值。 当n=1时： 由波函数及粒子能量表达式可得 的本征函数及相应的本征值。 当n=2时： 当n=3时： 当n=4时： …… 16E1 9E1 4E1 E1 一维无限深势阱中运