[工学]应用微分方程与差分方程建立数学模型.ppt

第一部分  应用微分方程建立数学模型 第一节 基础知识 一、基本概念： 微分方程、阶、解、通解、特解、积分曲线、初值问题 二、方程的类型及其解法 五类一阶方程及其解法、简单的可降阶的高阶方程、简单的微分方程组 三、微分方程稳定性理论简介 1、一阶方程的平衡点和稳定性 （1） 定义1：设有微分方程 定义2：如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解 都满足 （2）判断平衡点 是否稳定的两种常用方法： 间接法：利用定义2，即利用（3）式. 直接法：不求方程（1）的解 ，将 在点 处作泰勒展开，只取一次项，方程（1）近似为 则关于平衡点 是否稳定有如下结论： 若 ，则平衡点 对于方程（4）和（1）都是稳定的； 若 ，则平衡点 对于方程（4）和（1）都是不稳定的 2、二阶方程的平衡点和稳定性 方程的一般形式可用两个一阶方程表示 定义4：如果从所有可能的初始条件出发，方程（5）的解 ， 都满足 （6） 则称平衡点 是稳定的（或渐近稳定）；否则，称 是不稳定的（或不渐近稳定）. 为了用直接法讨论方程（5）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方程组的一般形式为 显然 为系统的奇点， 记系统系数矩阵 ， 特征方程为 为了书写方便，令 ， 于是特征方程可写为 特征根为. 下面就分别特征根为相异实根、重根及复根三种情况加以研究： 这些结果可以全都反映在 下列参数平面上 从而，根据特征方程的系数、的正负很容易判断平衡点的稳定性，准则如下： 对于一般的非线性方程（5），可以用近似线性方法判断其平衡点 的稳定性： 设 是方程 在 点作泰勒级数展开得 在一般情况下用下面的定理： 定理1：对于非线性系统（5），若有 （即我们讨论的奇点是初等奇点，也就是线性系统的系统矩阵 的特征值非零），且 为系统（7）的结点（不包括退化结点及临界结点）、鞍点或焦点.又 在 的邻域连续可微，且满足 第二节 微分方程模型 应用微分方程建立数学模型通常要运用如下两种方法： 1、所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配.注意发掘实际问题中的平衡原理是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题.就象中学的数学应用题中等量关系的发现是建立方程的关键一样. 2、微元法是指在组建对象随着时间或空间连续变化的动态模型时，经常考虑它在时间或空间的微小单元变化情况，这是因为在这些微元上的平衡关系比较简单，而且容易使用微分学的手段进行处理．这类模型基本上是以微分方程的形式给出的． 这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子. 一、人口预测模型 由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型. 例1（马尔萨斯 （Malthus）人口模型或称指数增长模型） 英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为 ,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型. 解 设 时刻的人口为 ,把 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在 到 时间段内,人口的增长量为 模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为 ,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长, 这样 , , ,于是