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[]12年中考数学专题复习二圆
专题二:圆
知识要点扫描归纳
一 圆的基本概念
(1)圆的定义:在平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。定点叫做圆心,定长叫半径。
(2)确定圆的条件;
①已知圆心和半径,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;
②不在同一条直线上的三点确定一个圆;
③已知圆的直径的位置和长度可确定一个圆;
(3)点和圆的位置关系 设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外d>r; ②点在圆上d=r; ③点在圆内 d<r;
(4)弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直线。直径是圆中最大的弦。圆心到弦的距离叫做弦心距。
(5)弧:圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆,优弧、劣弧三种。
(6)等圆、等弧:能够重合的两个圆叫做等圆。同圆或等圆的半径相等。在同圆或等圆中,能够互相重合的两条弧叫做等弧。
(7) 圆的对称性:圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。圆绕圆心旋转任何角度,都能够与原来的图形重合,因此圆还具有旋转不变性。
二 圆中的重要定理
1.垂径定理及其推论:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.
推论1:一条直线,如果具有①过圆心;②垂直于弦;③平分弦(非直径);④平分弦所对的劣弧;⑤平分弦所对的优弧.这五个性质中的任何两个性质这条直线就具有其余的三条性质.
推论2:圆的平行弦所夹的弧相等.
2.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、定理及推论.
在同圆或等圆中,四组量:①两个圆心角;②两条弧;③两条弦;④两条弦心距.其中任一组量相等,则其余三组量也分别相等.即在同圆或等圆中:
圆心角相等
3.圆周角
①定义:顶点在圆上,且两边与圆相交的角.
②定理及推论
定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.
推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90o的圆周角所对的弦是直径.
推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
推论4:圆内接四边形定理:圆的内接四边形对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角.
三、直线和圆的位置关系:
1.直线和圆的位置关系的定义及有关概念
(1)直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交(图1),这时直线叫圆的割线.
(2)直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切(图2)
这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点.
(3)直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离(图3)
2.直线和圆的位置关系性质和判定
如果⊙O的半径,圆心O割直线的距离为,那么(1)直线和⊙O相交(图
1);(2)直线和⊙O相切(图2);(3)直线和⊙O相离(图3).
四、切线的判定和性质:
(一)切线的判定
1.切线判定定理:经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线;
2.和圆心距离等于半径的直线是圆的切线;
3.经过半径外端点且与半径垂直的直线是圆的切线.
(二)切线的性质
1.切线的性质定理,圆的切线垂直于经过切点的半径;
推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;
推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
2.切线的性质:
(1)切线和圆只有一个公共点;
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径;
(3)切线垂直于过切点的半径;
(4)经过圆心垂直于切线的直线过切点;
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
五、三角形的内切圆
1.三角形的外接圆
过三角形三个顶点的圆,叫做三角形的外接圆,三条边中垂线的交点,叫做三角形的外心。三角形的外心到各顶点的距离相等.
2.外心的位置
锐角三角形的外心在三角形内部,钝角三角形的外心在三角形的外部,直角三角形的外心在斜边中点,外接圆半径(C为斜边长)
3.三角形的内切圆
到三角形三条边距离都相等的圆,叫三角形的内切圆,三角形中,三个内角平分线的交点,叫三角形的内心,三角形内心到三条边的距离相等,内心都在三角形的内部.若三角形的面积为,周长为a+b+c,则内切圆半径为:,当为直角三角形的直角边,为斜边时,内切圆半径或.
4.圆内接四边形的性质
(1)圆内接四边形的对角互补;
(2)圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角.
注意:①圆内接平行四边形为矩形;②圆内接梯形为等腰梯形.
六、切线长定理:
1.切线长概念:
在经过圆外一点的切线上,这点和切点之间的线段的R,叫做这点到圆的切线长.
2.切线长和切线的区别
切线是直线,不可度量;
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