[]定积分概念.ppt

一、定积分问题举例 解决步骤 : 3) 近似和. 3) 近似和. 二、定积分的定义 定积分的几何意义: 五、小结 ３定积分的几何意义: 应该说定积分的思想最早产生于中国，三国时候 （263 年），我国科学家刘徽就提出了“割圆术”方法， 他把圆的面积用正多边形面积来近似代替，算出了 （ 称徽 率）。刘徽所说的 “割之弥细，所失弥小，割之又割，以之不可割，则与圆合体而无所失矣” 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * 1. 曲边梯形的面积 曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 矩形面积 梯形面积 a b x y o a b x y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积． （四个小矩形） （九个小矩形） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1 计算抛物线 ,直线 和x轴所围城的曲边梯形的面积. 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 播放 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1 计算抛物线 ,直线 和x轴所围城的曲边梯形的面积. 注 目录 上页 下页 返回 结束 对于曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 ,它的面积? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1) 大化小. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 用直线 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 2) 常代变. 在第i 个窄曲边梯形上任取 作以 为底 , 为高的小矩形, 并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4) 取极限. 令 则曲边梯形面积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 实例2 （求变速直线运动的路程） 思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值． 设某物体作直线运动, 且 已知速度 求在运动时间内物体所经过 的路程 s. 解决步骤: 1) 大化小. 将它分成 在每个小段上物体经 2) 常代变. 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 n 个小段 过的路程为 4) 取极限 . 上述两个问题的共性: 解决问题的方法步骤相同 : “大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ” 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义 记为 此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 . 即 积分上限 积分下限 被积函数 被积表达式 积分变量 积分和 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有了定积分的定义前面所举的两类问题可以表叙如下 注意： 定理1. 定理2. 且只有有限个间断点 可积的充分条件: (证明略) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 可积的必要条件: 对定积分的补充规定: 结论： 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值 机动 目录 上页 下页 返回 结束 位于轴上下方各部分图形面积的代数和 例1 利用定义计算定积分 解 １．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法： 分割 大化小 求近似和 积零为整 取极限 精确值——定积分 求近似以直（不变）代曲（变） 取极限 位于轴上下方各部分图形面积的代数和 机动 目录 上页 下页 返回 结束 返回 刘 徽 祖冲之， 这正是定积分的核心思想。南北朝时我国古代数学家祖冲之（429-500）在《缀术》一书 中又求得 在 与 之间, 比欧洲最早得出这个近似值的德人鄂图早 1100余年 思考题 将和式极限： 表示成定积分. 思考题解答 原式