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[]海大概率教案1-4
第四节 等可能概型 二、例题选讲 四、小结 定义2 当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意一点落在度量 (长度、 面积、体积) 相同的子区域是等可能的,则事件 A 的概率可定义为 说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为几何概型. 那么 两人会面的充要条件为 例7 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预 定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t ( tT ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻 到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不牵 连.求甲、乙两人能会面的概率. 2.会面问题 解 故所求的概率为 若以 x, y 表示平面 上点的坐标 , 则有 蒲丰投针试验 例2 1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针 试验问题.平面上画有等距离为a(0)的一些平行直 线,现向此平面任意投掷一根长为b( a )的针,试求 针与任一平行直线相交的概率. 解 蒲丰资料 由投掷的任意性可知, 这是一个几何概型问题. * * * * 二、例题选讲 一、古典概型的概念 三、几何概型 我们首先引入的计算概率的数学模型,是在概率论的发展过程中最早出现的研究对象,通常称为 古典概型 一、古典概型 1.定义 若一个随机试验(Ω,F, P )具有以下两个特征: (1) 样本空间的元素只有有限个, 即Ω={ω1,ω2,…,ωn}; (2) 每个基本事件发生的可能性是相等的, 即 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。 则称这类试验的数学模型为古典概型。 如何理解古典概型中的等可能假设? 等可能性是古典概型的两大假设之一,有了这两个假设,给直接计算概率带来了很大的方便。但在事实上,所讨论问题是否符合等可能假设,一般不是通过实际验证,而往往是根据人们长期形成的“对称性经验”作出的。例如,骰子是正六面形,当质量均匀分布时,投掷一次,每面朝上的可能性都相等;装在袋中的小球,颜色可以不同,只要大小和形状相同,摸出其中任一个的可能性都相等。因此,等可能假设不是人为的,而是人们根据对事物的认识一对称性特征而确认的。 设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成, A 为 E 的任意一个事件,且包含 m 个样本点,则事 件 A 出现的概率记为: 2. 古典概型中事件概率的计算公式 称此为概率的古典定义. 法国数学家拉普拉斯(Laplace)在1812年把上式作 为概率的一般定义。事实上它只适用于古典概型场合。 3. 有关排列组合的知识 求解古典概型问题的关键是弄清基本事件空间的样本点总数和所求概率事件包含的样本点个数。在理清事件数的时候,必须分清研究的问题是组合问题还是排列问题,以下是关于排列组合的知识: 1.不同元素的选排列 从个不相同的元素中,无放回地取出m个元素的排列(m n),称为从n个不同元素中取m个元素的选排列,共有 当m=n时,称n个元素的全排列。共有n!种。 2.不同元素的重复排列 在n个不同元素中,有放回地取m个元素进行的排列,共有 种。 3.不全相异元素的排列 在n个元素中,有m类不同元素,每类有k1,k2,…,km个,将这n个元素作全排列,共有 n!/(k1!· k2!·…· km!)种。 4.组合 从n个不同元素中取m个而不考虑其次序的排列,共有 5.环排列 从n个不同元素中,选出m个不同的元素排成一个圆圈的排列,共有 n(n-1)…(n-m+1)/m= ·(m-1)!种。 6.乘法原理 设完成一件事有n个步骤,第一步有m1种方法,第二步有m2种方法,…,第n步有mn种方法,则完成这件事有m1 · m2 · … · mn种方法。 7.加法原理 设完成一件事有k类方法,每类分别有m1,…,mk种方法,而完成这件事只需一种方法,则完成这件事可以有m1+m2+…+mk种方法. 4. 古典概型的基本模型:摸球模型 (1) 无放回地摸球 问题1 设袋中有4 只白球和 2只黑球, 现从袋中无 放回地依次摸出2只球,求这2只球都是白球的概率. 解 基本事件总数为 A 所包含基本事件的个数为 (2) 有放回地摸球 问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放 回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球 的概率. 解 第1次摸球 10种 第2次摸球 10种 第3次摸球 10种
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