[]理论力学 第十章振动.ppt

此微分方程为质点受迫振动，激振力项 m2eω2sinωt 即电机旋转时，偏心块的离心惯性力在x轴方向的投影。 激振力力幅为 m2eω2 等于离心惯性力的大小 激振力的圆频率等于转子的角速度ω。 这种情况引起的激振力的力幅与激振力的频率有关。 整理后得： 选题 当ωωn时，振幅随着增大而减小，最后趋于m2e/(m1 +m2) 。 此曲线当ωωn时，振幅从零开始，随着频率增大而增大； 令： 绘出振幅频率曲线。 当ω=ωn时，振幅趋于∞； 受迫振动振幅： 例10 图为一测振仪的简图，其中物块质量为m，弹簧刚度为k。测振仪放在振动物体表面，将随物体而运动。设被测物体的振动规律为s=esinωt，求测振仪中物块的运动微分方程及其受迫振动规律。 解： 1）取测振仪为研究对象 测振仪随被测物而振动，则其弹簧悬挂点的运动规律就是s=esinωt 。 2）位移分析 取t=0时物块的平衡位置为坐标原点O，取x轴如图。如弹簧原长为l0，δst为其静伸长。设任一时刻t时，物块的坐标为x，弹簧的变形量为 3）物块运动的微分方程： 整理为： 可见物块的运动微分方程为无阻尼受迫振动的微分方程。 物块的受迫振动形式： 激振力的力幅为 b为物块绝对运动的振幅。 由于测振仪壳体运动的振幅为e，记录纸上画出的振幅为物块相对于测振仪的振幅 a=|b-e|。当ωn ω时，b≈0，有a≈e。 一般测振仪的物块质量较大，弹簧刚度k很小，使ωn很小。 用它来检测频率ω不太低的振动时，物块几乎不动，记录纸上画出的振幅也就接近于被测物体的振幅。 返回 选题 可建立质点运动微分方程 若选平衡位置O为坐标原点，坐标轴铅直向下。 则各力在坐标轴上的投影为： §10-5 单自由度系统的有阻尼受迫振动 图示有阻尼振动系统，设物块的质量为m，作用在物块上的力有线性恢复力Fk、粘性阻尼力Fc和简谐激振力F。 整理得： 有阻尼受迫振动微分方程的标准形式 二阶线性常系数非齐次微分方程 其解由两部分组成： x1 ：齐次方程的通解 在小阻尼（n ωn ）情形下，有 两端除以m，并令： x2 ：对应齐次方程的特解 设它的形式为： 其中ε表示受迫振动的相位落后于激振力的相位角。 代入微分方程，可得： 将右端改写为： 可整理为： 对任意瞬时t，必须满足： 其中A和?为积分常数，由运动的初始条件确定。 有阻尼受迫振动由两部分合成： 第一部分是衰减振动；第二部分是受迫振动 两方程联立，可解出： 得微分方程的通解为： 由于阻尼的存在 第一部分振动随时间的增加，很快地衰减， 这段过程称为过渡过程（瞬态过程）. 过渡过程是很短暂的。 过渡过程之后，系统进入稳态过程。 有阻尼存在，受简谐激振力作用的受迫振动仍然是谐振动，其振动频率等于激振力的频率，其振幅表达式为： 受迫振动的振幅不仅与激振力的力幅有关，还与激振力的频率ω以及振动系统的参数m、k和阻力系数c有关。 下面研究稳态过程的振动。 由受迫振动的运动方程特解可知： 采用无量纲形式，横轴表示频率比λ=ω/ωn,纵轴表示振幅比β=b/b0。阻尼的改变用阻尼比ζ=c/cc=n/ωn来表示。 不同阻尼条件下受迫振动的振幅频率曲线 阻尼对振幅的影响程度与频率有关 1）当ωωn时，阻尼对振幅的影响甚微，可忽略系统的阻尼而当作无阻尼处理。 2）当ω→ωn （即λ→1）时，振幅显著地增大。这时阻尼对振幅有明显的影响，即阻尼增大，振幅显著地下降。 振幅bmax具有最大值，这时的频率ω称为共振频率。 在共振频率下的振幅为： 当 时 或 在一般情况下，阻尼比ζ1，可认为共振频率ω=ωn ， 即当激振力频率等于系统固有频率时，系统发生共振。 共振的振幅为 （3）当ωωn时，有阻尼受迫振动的振幅影响也较小，这时可以忽略阻尼，将系统当作无阻尼系统处理。 有阻尼受迫振动的位相总比激振力落后一个相位角ε，ε称为相位差。 ε表达了相位差随谐振力频率的变化关系。 或 由微分方程的特解 画出相位差随激振力频率的变化曲线（相频曲线） 例5 如图一质量为m、半径为r的圆柱体，在一半径为R的圆槽上作无滑动的滚动。求圆柱体在平衡位置附近作微小振动的固有频率。 由运动学知，当圆柱体作纯动时，其角速度为： 解： 1）取圆柱为研究对象 2）分析运动规律 设t时刻，圆柱体微振角为θ 设θ的变化规律为 3）计算系统机械能 圆柱在最低处平衡，取该处圆心位置C为零势能点，系统的势能即重力势能为 系统的动能： 整理后得： 系统的最大动能 系统的最大势能 得系统的固有频率： 4）应用机械能守恒定理 返回 选题 1.阻尼 上节所研究的振动是不受阻力作用的，振动的振幅是不随时间改变的，振动过程将无限地进行下去。 实际中的振动系统由于存在阻力，而不断消耗着振动的能量，使振幅不断地减小，直到最后振