[信息与通信]第1章_控制系统的状态空间描述.ppt

现代控制理论 绪 论 控制理论的发展概况 现代控制理论的主要内容 第1章 动力学系统的状态空间描述 1.1 状态空间描述的基本概念 1. 动力学系统 2. 动力学系统的状态 3. 状态空间表达式 状态空间模型是应用状态空间分析法对动态系统所建立的一种数学模型,它是应用现代控制理论对系统进行分析和综合的基础。 状态空间模型由以下二部分组成： 描述系统的动态特性行为的状态方程 描述系统输出变量与状态变量间的变换关系的输出方程 下面以一个由电容、电感等储能元件组成的二阶RLC电网络系统为例,说明状态空间模型的建立和形式,然后再进行一般的讨论。 例 某电网络系统的模型如图2-3所示。 试建立以电压ui为系统输入,电容器两端的电压uC为输出的状态空间模型。 2. 选择状态变量 状态变量的个数应为独立一阶储能元件(如电感和电容)的个数。 对本例 3. 将状态变量代入各物理量所满足的方程,整理得一规范形式的一阶矩阵微分方程组--状态方程。 每个状态变量对应一个一阶微分方程,导数项的系数为1,非导数项列写在方程的右边。 对本例,经整理可得如下状态方程 其中 由上述例子,可总结出状态空间模型的一般形式为 对前面引入的状态空间模型的意义,有如下讨论: 状态方程描述的是系统动态特性, 其决定系统状态变量的动态变化。 输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的关系。 系统矩阵A 表示系统内部各状态变量之间的关联情况, 它主要决定系统的动态特性。 输入矩阵B 又称为控制矩阵, 它表示输入对状态变量变化的影响。 输出矩阵C 反映状态变量与输出间的作用关系。 直联矩阵D 则表示了输入对输出的直接影响,许多系统不存在这种直联关系,即直联矩阵D=0。 上述线性定常连续系统的状态空间模型可推广至 时变系统 非线性系统 2.非线性系统 状态变量的特点： 独立性：状态变量之间线性独立。 多样性：状态变量的选取并不唯一。 等价性：两组状态向量之间满足非奇异变换。 现实性：状态变量通常取为涵义明确的物理量。 抽象性：状态变量可以没有直观的物理意义。 4. 模拟结构图 1.2 根据系统的物理机理建立状态空间表达式 RLC电网络 1.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间描述 基于微分方程列写状态空间描述 基于传递函数建立状态空间描述 1.4 根据控制系统的结构图建立状态空间表达式 1.5 等价变换与特征值标准形 1. 状态空间的等价变换 2. 系统的特征值和特征向量 3. 将状态方程化为对角线标准形 4. 将状态方程化为约当标准形 1.6 状态空间表达式与传递函数阵 1.7 离散时间系统的状态空间表达式 解：1) 求系统特征根 例1.5-3 将下系统化为对角标准型 2)求特征向量 对 由 得 对 由 得 对 由 得 3) 新的状态方程为： 构成状态转移矩阵 若A阵为n×n维友矩阵 且具有相异特征值，则下列范德蒙(Vandermonde)矩阵P可将A变换为对角线矩阵。 例1.5-4 系统状态空间表达式如下，试化为对角标准型。 解： 由于特征值互异，可以将矩阵A化为对角矩阵 。 矩阵A具有一个m重特征值λ1，且矩阵A对应于特征值λ1有m个独立的特征向量，则仍可将矩阵A化为对角线标准形；另一种情况是矩阵A不但具有一个m重特征值λ1 ，而且对应于特征值λ1的独立特征向量的个数为1，则可将矩阵A变换为约当标准形。 对角线矩阵是约当矩阵的一种特殊情况，约当矩阵是对角块矩阵。这里只讨论每个约当块的阶数等于特征值的重数的情况。 如何确定将矩阵A化为约当标准形的变换阵P？ 向量v1是对应λ1的特征向量， v2，…， vm是对应λ1的广义特征向量。 例1.5-5 求将矩阵A化为约当标准形的变换阵P？ 解：求A阵的特征值 P1的独立特征向量数=1 2，所以系统A阵虽不能化为对角阵，但能化为约当阵J。 求变换阵P 广义特征向量 拉氏变换 x(0)=0 左乘(sI-A)-1 要求记住并能熟练应用公式 由状态空间表达式求传递函数阵 系统的传递函数阵 传递函数阵中第i行第j列的元素 在物理上表示第i个输出变量中由第j个输入所引起的分量，也是它与第j个输入变量间的传递函数。 例1.6-1 已知系统的状态空间描述，求传递函数。 解：根据公式 同一系统的状态空间描述，通过非奇异变换后，会有许多不同的结构形式，但是它们的传递函数阵G(s)却是相同的，即非奇异变换不改变系统的输入-输出特性。 证： 由传递函数阵求状态空间表达式 例1.6-2 已知系统的传递函数阵，求它的状态空间实现 。 离散时间系统差分方程表示： 其对应脉冲传函为： 定义： 取： 对其进行Z 反变换得： b0=0时 或 b0=0时 能控标准型 能观标准