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[信息与通信]计算方法与误差理论-7
常微分方程—龙格-库塔方法 经典(四阶)龙格-库塔公式:4阶精度 4个点处的斜率加权平均作为k*的近似值 常微分方程—龙格-库塔方法 Gill公式: 常微分方程—龙格-库塔方法 理论上,可以构造任意高阶的龙格-库塔公式,但精度的阶数与计算函数值的次数之间的关系不是等量增加的。 四阶龙格-库塔公式是兼顾了精度及计算量的较理想的计算公式。 注意:龙格-库塔方法要求所求的解具有较好的光滑性质,否则精度不如改进欧拉公式。 常微分方程—线性多步法 线性多步法 基本思想:充分利用第i+1步前面已求得的多步信息来预测yi+1,从而获得较高的精度 线性r步公式: αj、βj为常数, |αr-1|+|βr-1|≠0 β-1=0时,为显式公式; β-1≠0时,为隐式公式 常微分方程—线性多步法 基本思想 方程y’=f(x,y)的解: 用左矩形公式作数值积分:得欧拉公式 用梯形公式作数值积分:得梯形公式 提高精度:对积分用更精确的求积方法,即用更高次的插值多项式。 选取不同的插值节点,得不同的数值解法 常微分方程—线性多步法 阿当姆斯方法 阿当姆斯内插公式:高次插值多项式,除用xi, xi+1点外,还可取其他点。 最好是区间[xi,xi+1]之间的点,但往往是未知的 所以取区间[xi,xi+1]外的点,如:xi-1, xi-2等等 常微分方程—线性多步法 阿当姆斯方法 阿当姆斯内插公式: 局部截断误差: 常微分方程—线性多步法 阿当姆斯方法—阿当姆斯内插公式 隐式公式 四阶公式 三步方法:由xi, xi-1, xi-2求xi+1 需提供三个初值y0,y1,y2,通常由经典龙格-库塔公式提供 常微分方程—线性多步法 阿当姆斯方法 阿当姆斯外推公式:高次插值多项式,阿当姆斯内插公式为隐式公式 为避免成为隐式公式,不取xi+1,而用xi-3代替,即取xi, xi-1, xi-2 , xi-3作插值节点 常微分方程—线性多步法 阿当姆斯方法 阿当姆斯外推公式: 局部截断误差: 常微分方程—线性多步法 阿当姆斯方法—阿当姆斯外推公式 显示公式 四阶公式 四步方法:由xi, xi-1, xi-2 , xi-3求xi+1 需提供四个初值y0,y1,y2,y3,通常由经典龙格-库塔公式提供 常微分方程—线性多步法 阿当姆斯方法 阿当姆斯预测校正公式 计算角度来看:外推法:显式公式,计算方便;内插法:隐式公式,需迭代求解,计算麻烦 内插有两个优点:1)内插的局部截断误差比外推的小得多;2)内插公式的系数的绝对值之和比外推的小得多,即由于计算产生的误差对计算结果的影响小得多 常微分方程—线性多步法 阿当姆斯方法 阿当姆斯预测校正公式:把内插公式和外推公式结合起来使用 常微分方程—线性多步法 阿当姆斯方法 阿当姆斯预测校正公式计算的值比外推法求得的值准确的多 常微分方程—一阶方程组 一阶方程组 前面所有的方法都可应用于一阶方程组 2个方程组成的一阶方程组: 设: 常微分方程—一阶方程组 一阶方程组 一阶方程组化为: 求解一阶方程的四阶龙格-库塔公式为: 常微分方程—一阶方程组 一阶方程组 常微分方程—一阶方程组 一阶方程组 仍是单步法 常微分方程——高阶方程 高阶方程 基本思想:化高阶方程为一阶方程组 二阶方程: 设z=y’,则有: 常微分方程——高阶方程 高阶方程 常微分方程——高阶方程 高阶方程 简化(只含li) 常微分方程——高阶方程 高阶方程 例:用四阶龙格-库塔方法在[0,1]上取步长h=0.2,求解二阶方程初值问题: y’’-3y’+2y=0, y(0)=1, y’(0)=1 常微分方程 练习 解常微分方程初值问题的梯形公式具 阶精度,改进的欧拉公式具 阶精度,四阶龙格-库塔法具 阶精度。 2 2 4 计算方法与误差理论 教师:马英杰 成都理工大学 核自学院 第七章 常微分方程数值解法 主要内容 一阶常微分方程的数值解法: 欧拉方法 龙格-库塔方法 线性多步法——阿当姆斯法 一阶方程组与高阶方程 常微分方程数值解法 问题的提出—y’(x)=f(x,y) 应用 不能给出解的解析表达式 复杂,计算量太大 计算机上不易实现 数值解法 寻求解在一系列离散点(节点)上的近似值 一阶方程的初值问题 常微分方程数值解法 初值问题 基本特点:求解过程顺着节点排列次序一步步向前推进。即按递推公式由已知的y0, y1,…yi,求出yi+1。 关键:如何建立这种递推公式? 常微分方程——欧拉方法 欧拉(Euler)方法:y’(x)=f(x,y) 解初值问题的最简单的数值方法 欧拉公式:yi+1=yi+hf(xi,yi) 常微分方程——欧拉方法 欧拉公式的几何意义 一系列折线(又称折线法) 第i条折
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