[六年级数学]第四章 多项式插值与函数逼近4.ppt

* 广义多项式 §6 函数逼近/* Approximation of Function */ 一、函数逼近问题的提法 假设 是定义在某区间 上的函数，现寻求另一个构造简单、计算量小的函数 来近似地代替： 为区间 上的一个线性无关函数系 为一组实常数。 就是我们前面讨论的多项式逼近 若线性无关函数系取 常用的函数系： ? 幂 函数系： ?三角函数系： ?指数函数系： 多项式插值的收敛性问题： 注：结论并不是对 所有函数都成立 ?函数逼近构造思想： 要求构造函数在整个区间上 与已知函数的误差尽可能小 ?误差度量标准： 其中 为权函数 （2） （1） 对于给定的函数系 ，寻求一组系数 使得函数 满足 （1） （2） 一致逼近 逼近 二、最佳平方逼近/*Best Approximation in Quadratic Norm*/ 假设 ， 是[a,b]上的一个线性无 关函数系,且 , 为[a,b]上的一个权函数 如果存在一组系数 使得广义多项式 满足 称函数 为 在[a,b]上关于权函数 的最佳 平方逼近或最小二乘逼近；特别，若 ，则称 是 在[a,b]上的最佳平方逼近. 由定义可以看出，最佳平方逼近问题实际上是个多元极值问题 记 由极值的必要条件 即： 记 将 代入前式： 令 称矩阵 是关于函数系 的Gram(格拉姆)矩阵 易证Gram矩阵为实对称正定矩阵： 上述方程组存在唯一解 设由上述方程组的解确定的广义多项式为： 对于任意广义多项式 下面证明 即 记 设给定节点 ，则其最佳平方逼近 唯一存在，且可以由前述Gram组成的方程组求解构造。 注： ?前述Gram组成的方程组通常称为法方程组 ?最佳平方逼近可以通过求解法方程组而得到 ? Gram矩阵是实对称正定矩阵 例1：求函数 在 上的最佳平方逼近： 解： 本题的函数系和权函数为： 首先计算Gram矩阵： 求解下列法方程组： 所求最佳平方逼近为： 注：例1中的法方程组推广到一般情况 即函数系和权函数取为： 法方程组的系数矩阵为： n+1阶的 Hilbert矩阵 病态矩阵 ?函数系的选择方法 如果 （正交函数系）/*Orthogonal System of Function*/ 则称 为区间 上关于权函数 的正交（直交）函数系。 特别，若 称之为标准（规范）正交函数系 /*Orthonormal System of Function*/ 如果取正交函数系： 则法方程组的系数矩阵变为对角矩阵。 所以方程组的解为： ?常用的几种正交函数系 1、三角（ Trigonometric ）函数系： （或 ） 正交性质 2、勒让德（Legendre）多项式系： 性质1（递推公式） 性质2（正交性质） 性质3（最佳逼近性质） 或者 说明:在区间[-1,1]上，n次首1的Legendre多项式 是零函数的最佳平方逼近多项式 3、切比雪夫（Chebyshev）多项式系： 性质1（递推公式） 例如： 性质3（正交性质） 性质2（零点与最值点） 在（-1,1）内的n个零点和n+1个最值点为： 性质4（最佳逼近性质） 在区间[-1,1]上， n次首1的Chebyshev多项式 是零函数的最佳一致逼近 证明： 反证法 如果存在 满足： 则函数 在点集 上的函数值符号交错出现! 多项式 至少有n个零点 矛盾！ 4、其它多项式系： ?拉盖尔（Laguerre）多项式系 是区间 上关于权函数 的正交系 ?埃尔米特（Hermite）多项式系 是区间 上关于权函数 的正交系 *