[其它考试]线性代数课件：10第五章特征值与特征向量.ppt

第五章 特征值与特征向量 5.1 特征值与特征向量 5.1.1 特征值与特征向量的定义P129 特征方阵、特征多项式、特征方程的定义 特征多项式是λ的n次多项式. 注意（属于某个特征值λ0的特征向量） 例2（当定理看待）P129 例3P130 25．已知A=，求其特征值与特征向量.例4（根据定义判断特征值）例5（根据秩判断特征值） 5.1.2 关于特征值和特征向量的若干结论 定理5.1.1 n阶方阵A和它的转置矩阵AT必有相同的特征值(特征多项式)P132注意： A和AT未必有相同的特征向量. 定理5.1.2设λ1, λ2,……,λn是n阶方阵A=(aij)n×n的全体特征值，则必有 定理5.1.3 注：1.幂零矩阵Am = O——特征值必为02.对合矩阵A2 = En——特征值必为±1 5.1.3 关于求特征值与特征向量的一般方法 5.2 方阵的相似变换 例1P13726．设矩阵A=，求可逆矩阵P及对角矩阵D，使得P-1AP=D. 26.设A=，求An.定义5.2.1 定理5.2.1 相似矩阵必有相同的特征多项式。因而必有相同的特征值、相同的迹和相同的行列式. 推论：若n阶方阵A相似于对角矩阵或三角矩阵： 例2P138 例3——方阵多项式的相似——可看作定理 例4与例5的比较 例4与例5的比较 例4与例5的比较的结论 对例4的进一步研究（对照P136） 四个基本定理、一个定义和两个重要结论：（1）第1个定理 两个维数相同的线性无关组，其并集未必是线性无关组 例6 例4:对应于二重特征值λ2=λ3=2,有两个线性无关的特征向量. 例5:对应于二重特征值λ2=λ3=1,有一个线性无关的特征向量. 为什么? 因为,它们对应的齐次线性方程组的秩不同 即自由未知量的个数不同. 例4:秩为1, 则有n－r(λ2E3－A)=3-1=2个自由未知量 —2个线性无关的特征向量. 例5:秩为2, 则有n－r(λ2E3－A)=3-2=1个自由未知量. —1个线性无关的特征向量. * * 5.1 特征值与特征向量 5.2 方阵的相似变换 5.3 向量的内积和正交矩阵 5.4 实对称矩阵的相似标准形 5.1.1 特征值与特征向量的定义 5.1.2 关于特征值与特征向量的若干结论 5.1.3 关于求特征值与特征向量的一般方法 特征方程的n个根就是A的n个特征值.n个根= n个特征值=复根（实根、虚根和重根） 命题1：实(数)方阵的特征值未必是实(数)向量 例6P131 命题2：三角矩阵的特征值就是它的全体对角元. 例如P131 命题3：一个向量P不可能是属于同一个方阵A的 不同特征值的特征向量. 证明、例7和例8 P133 例10P135