[农学]82 二重积分的计算法.ppt

* * 8.2 二重积分的计算法 8.2.1 利用直角坐标计算二重积分 当积分区域是X型区域时 当积分区域是Y型区域时 解 积分区域如图所示, 应先对x积分，后对y积分 1 y x y o x 应先积y ，后积x 评注 本例中两题不能交换积分次序，因为先积分的原函数不能用初等函数表达出来，从而二重积分计算不出来. 解 积分区域如图所示, 例5 求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体体积。 解 设这两个圆柱面的方程分别为 利用立体关于坐标面的对称性， 只要算出它在第一卦限部分的体积V1，然后再乘以8就行了. x2+y2=R2 及 x2+z2=R2 y o x D x y R R z o 第一卦限部分可看成是一个曲顶柱体，它的底为 顶是柱面 y o x D 利用公式 (1)，得 x y R R z o 7.2.2 利用极坐标计算二重积分 有些二重积分，积分区域D的边界用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用极坐标变量r、?表达较简单. 这时，我们就可以利用极坐标计算二重积分. 下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式. 1、极坐标系下的二重积分的形式 假定从极点O出发且穿过闭区域D内部的射线与D的边界曲线相交不多于两点。 我们用 (2)从极点出发的一族射线：θ=常数， 把D分成 n个小区域（如上图）. (1)以极点为中心的一族同心圆：r =常数， 除了包含边界点的一些小闭区域外，小闭区域的面积⊿?i可计算如下： 2、如何化为两次单积分 积分顺序：一般是先积 r 后积? 定限的方法：依D的特点 O x D O x D O x D O x D α β O x D o x D 由二重积分的性质4，闭区域D的面积?可以表示为 (1) (2) (3) 1 2 解 积分区域D的图形 D：0? r ? a, 0 ?θ? 2? D1 O x y R D2 S D1 例4 求球体 x2+y2+z2 4a2被圆柱面x2+y2=2ax(a0) 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积. D y x o 2a x y o D ? * *