[初中教育]2。3数学归纳法.ppt

数学归纳法 * * ——小明的爸爸有四个小孩 我是一毛 我是二毛 我是三毛 我是谁？ 我不是四毛！我是小明！ 归纳法的原理： 大球中装有若干个小球，以下是试验过程和推理，其结论是否正确？ 试验 （1）从大球中取出了5个小球，发现全是红色的。 推理 大球中装的全是红球 判断 考察部分对象，得到一般结论的方法， 叫做不完全归纳法。不完全归纳法得 到的结论不一定正确！ 不完全归纳法和完全归纳法均称为归纳法。 试验 （2）从大球中取出所有的小球， 推理 大球中装的全是红球 判断 考察全部对象，得到一般结论的方法， 叫做完全归纳法。完全归纳法得到的 结论一定正确！ 发现全是红色的。 费马(Fermat) 曾经提出一个猜想： 形如Fn＝22n+1(n=0,1,2…)的数都是质数 ……100年后… 费马(1601--1665)法国伟大的业余数学家。 欧拉(1707～1783)，瑞士数学家及自然科学家。 费马您错了! 不完全归纳法能帮助我们发现猜想,但不能保证猜想正确. ：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法 结论一定可靠 结论不一定可靠 考察全体对象,得到一般结论的推理方法 考察部分对象,得到一般结论的推理方法 归纳法分为完全归纳法 和 不完全归纳法 归纳法 问题 不完全归纳法 … 问题 思考1：能否通过一一验证的办法来加以证明呢？ 如何证明呢？ 思考2：我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢？ 思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒下的条件是什么？ 多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次倒下。 思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒下的条件是什么？ 只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就都能倒下： （1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一 定导致后一块倒下。 某人姓王，其家族所有男性世代都姓王吗？为什么？ （1）始祖姓王； （2）子随父姓. （第1代姓王） （如果第k代姓T，则第k+1代也姓T） 其中道理可用于数学证明──数学归纳法. （1）第一张骨牌必须能倒下 （2）假若第k（k≥1）张能倒下 时，一定能推倒紧挨着它的 第k+1张骨牌 （游戏开始的基础） （游戏继续的条件） 分析： 能够使游戏一直 连续运行的条件： 类似地，把关于自然数n的命题 看作多米诺骨牌，产生一种符合 运行条件的方法： （递推基础） （递推依据） 由（1）（2）知，游戏可以一直 连续运行。不论有多少块骨牌, 都能全部倒下. 由（1）（2）知，命题对于一切 n≥n。的自然数n都正确。 我们把以上证明关于自然数n的 命题的方法，叫做数学归纳法。 数学归纳法: 对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性： (1)证明当n取第一个值n0 时命题成立 (2)假设当 时,命题成立 证明当 时,命题也成立 完成这两个步骤后, 就可以断定： 命题对从 开始的所有正整数n都成立 这种证明方法叫做数学归纳法 （归纳奠基） （归纳递推） 验证n=n0时命题成立 若当n=k(k?n0 )时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立 命题对从n0开始的所有正整数n都成立． (1)证明当n取第一个值n0 时命题成立 (2)假设当 时,命题成立 证明当 时,命题也成立 （归纳奠基） （归纳递推） 数学归纳法: 对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性： 例1、用数学归纳法证明： 1+3+5+…+(2n-1)＝n2 (2)假设n＝k时，等式成立，即 (1) n＝1时，左边=1，右边=1，等式成立； 1+3+5+…+(2k-1)＝k2 那么当n＝k+1时， ∴由①、② 可知对任何n∈N*时，等式都成立 需要证明的式子是? 1+3+5+…+(2k-1)+（2k+1） ＝k2+（2k+1）＝（k+1）2 这就是说，当n=k+1时，等式也成立 凑结论 凑归纳假设 思考1：试问等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？ 解:假设n＝k时成立，即 这就是说，n＝k+1时也成立 2+4+6+…+2k＝k2+k+1 那么当n=k+1时 2+4+6+…+2k+2(k+1)