[初二数学]第八章 第八节 双曲线.ppt

因为 且M、N在双曲线右支上， 所以 由①②知， 3．已知双曲线x2－y2＝2的右焦点为F，过点F的动直线与 双曲线相交于A，B两点，点C的坐标是(1,0)． 证明： 为常数． 证明：由条件知F(2,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 当AB与x轴垂直时，可设点A，B的坐标分别为(2， )，(2，－ )，此时 ＝(1， )·(1，－ )＝－1. 当AB不与x轴垂直时， 设直线AB的方程是y＝k(x－2)(k≠±1)， 代入x2－y2＝2，有(1－k2)x2＋4k2x－(4k2＋2)＝0， 则x1，x2是上述方程的两个实根， 所以x1＋x2＝ ，x1x2＝ ， 于是 ＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2 ＝(x1－1)(x2－1)＋k2(x1－2)(x2－2) ＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋1)(x1＋x2)＋4k2＋1 ＝ ＋4k2＋1 ＝－4k2－2＋4k2＋1＝－1. 综上所述， 为常数－1. 双曲线的定义、标准方程、渐近线与离心率问题一直是历年高考的命题热点，尤其是离心率问题，几 乎是每年必考内容，在考查中多借助于几何性质建立a、b、c关系求解.2009年江西卷考查了双曲线的离心率的求法. (2009·江西高考)设F1和F2为双曲线 (a＞0，b＞0)的两个焦点，若F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为 (　　) A.　　　　　　　　　　　 B．2 C. D．3 [解析]　法一：∵P(0,2b)，F1(－c,0)， △PF1F2为正三角形， ∴ = ?4b2＝3c2?4(c2－a2)＝3c2?e＝2. 法二：在Rt△PF2O中，tan∠PF2O= (下同法一)． 法三：∵△PF1F2为正三角形， ∴|PF1|＝2c，即 ?4(c2－a2)＝3c2?e＝2. [答案]　B 本例中的三种解法都充分挖掘了条件中的几何性质，其目的是建立a、b、c关系，从而变形得出e. 请同学们思考一下，若条件变为“在双曲线上存在点P使∠F1PF2＝90°且|PF1|＝3|PF2|”，如何求e? * 一、双曲线的定义 平面内与定点F1、F2的距离的 等于常数(小 于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，定点叫做双曲线的 ，两焦点之间的距离叫做双曲线的 ． ? 差的绝对值 焦点 焦距 二、双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 (a0，b0) (a0，b0) 图形 标准方程 (a0，b0) (a0，b0) 性 质 范围 对称性 对称轴： 对称中心： 对称轴： 对称中心： 顶点 顶点坐标 A1 ，A2 顶点坐标A1 ，A2 渐近线 坐标轴 坐标轴 原点 原点 (0，－a) (0，a) (－a,0) (a,0) x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 标准方程 (a0，b0) (a0，b0) 性 质 离心率 e＝ ，e∈ ，其中c＝ 实虚轴 线段 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝ ；线段 叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝ ； 叫做双曲线的