[化学]张量分析第三章34.ppt

设{o ; i1, i2, i3 }是矢量空间 V 中的标准正交坐标系。则 r 阶 张量A可表示为： 当{o ; i1, i2, i3 }在正交二阶张量 Q作用下变换为 {o ; Q·i1, Q ·i2, Q·i3 }标准正交坐标系时， r 阶张量A有可表示为： （3.5-1） 显然一般情况下： （3.5-2） 如果（3.5-2）的3 r个式子中有一个是左右两边不相等，则 表明A至少在正交变换Q作用于标准正交坐标系 {o ; i1, i2, i3 }时依赖于坐标变换，这时称 r 阶张量 A是各向异性的。如 果所有正交变换 Q作用于标准正交坐标系 {o ; i1, i2, i3 }时， （3.5-2）式的 3 r个式子左右两边均相等。则称 r 阶张量 A 或者说对所有正交坐标变换，张量 A的 3 r 个分量都保持不 变时， r 阶张量 A称各向同性张量。 例21 已知矢量 ；二阶张量 。 试求当{o ; i1, i2, i3 }标准正交坐标系在正交二阶张量： 1． 2． 的变换下矢量u和二阶张量 A的表达式。 解： 1． ∴ 显然 。因此 u是一阶各向异性张量(各向异性矢量) 。 ∴ 但必须注意，尽管 ，但这并不说明A是各向 同性的。A只有对所有正交坐标变换（即对所有正交二阶 张量Q作用在{o ; i1, i2, i3 }的变换）都有： 时，A才是各向同性的二阶张量。 2． ∴ 显然 。因此 u 是各向异性矢量。 显然 ，其余的 因此 A 是各向异性二阶张量。 由例20可以看出二阶张量 A 在第一个正交变换下保持分量 不变 ；而在第二个正交变换下其分量发生了变化。对一般 r阶张量（并不是所有的r阶张量）在某些特定的正变换时， 当这些特定的正交二阶张量作用在r阶张量上时，张量的分 量保持不变 。因此各向异性的张量能够按某些正交二阶张 量分类。 设 r 阶张量 A在矢量空间V 中给定的标准正交坐标系{o ; i1, i2, i3 }下表示为： 对给定的正交二阶张量Q，坐标系{o ; i1, i2, i3 }在Q作用下 变换为： A在 坐标系下表示为： 1．横观各向异性： 若A在正交二阶张量： （3.5-3） 的变换下（对任意的θ取值），的分量保持不变，则 A称 为 r 阶横观各向异性张量。 2．正交各向异性： 若A在正交二阶张量： （3.5-4） 分别作用的变换下，A的分量均保持不变。则 A称为r 阶正 阶正交各向异性张量。 3．半各向同性： 若A在所有满足： （3.5-5） 正交二阶张量Q ( Q称为真正交二阶张量。或称旋转正交二 阶张量)变换下，其分量保持不变。则称 A是 r阶半各向同 性张量。或称为各向同性伪张量。 例22： 试求横观各向异性二阶张量A的表达式。 解： 由 得： 由于第一组的四个方程对任意θ都必须满足。由第二组的 四个方程可得： 当 时，①/③，②/④得： 显然只有当 最后得横观各向异性二阶张量可表示为： 时，以上两个表达成立。因此 以上按正交二阶张量所表示的不同坐标变换对各向异性张 量进行了分类。由此引入了横观各向异性张量和正交各向 异性张量。这两类各向异性张量在各向异性理论和复合材 料力学中描述了材料性模量与方向的依赖关系。在连续介 质力学（包括弹性力学和流体力学等）各向同性是重要的 概念。下面给出描述各向同性物理性质的各向同性张量的 定理。 定理： 对零阶、一阶、二阶、四阶张量有： 1．零阶张量（数量）是各向异同性张量。 2．零矢量是各向同性一阶张量；而所有非零矢量都是各向 异性一阶张量。 3．二阶各向同性张量可表示为： （3.5-6） 4．四阶各向同性张量可表示为 （3.5-7） * * 3.4 二阶张量特征值、特征方向 二阶张量A实现 V到V的线性变换（这种变换通过二阶张量 与矢量的点乘实现）。对给定的二阶张量A , V中是否存在 这样的矢量u使得A点乘u所得到的矢量 A· u方向与 u相同， 而大小发生变化。这类问题称为二阶张量的特征值问题。 设A为给定的二阶张量。那么A的特征值问题归结为u ∈V ，使得： （3.4-1） （3.4-2） 若（3.4-1）的u存在，则称u是 A的右特征矢量； λ 是 A的 右特征值；若（3.4-2）的u存在，则称u是 A的左特征矢量 ； λ 是 A的左特征值。 设V中标准正交坐标系为 {i1, i2, i3} 。则二阶张量 A和矢量 u可表示为： 可分别写成： 或 （3.4-3） （3.4-4） （3.3-3）和（3.3-4）是关于 u1, u2, u3的齐次线性代数方程 。方程有非零解的充要条件是方程组的系数行