[学科竞赛]不定方程.ppt

2、主要研究问题a.不定方程有解的条件b.有解的情况下，解的个数c.有解的情况下，如何解 几个特殊的不定方程的初等解法 1、奇偶分析法 例：求不定方程 的正整数解 解：因为328为偶数，即左边为偶数，x，y的奇偶性相同，不妨设xy设 则有 …同理有 一奇一偶, 则 得解 进一步有 所发原方程的解为(2,18)和(18,2) 2、利用特殊模的余数 例2：证明 无整数解。 证：由求根公式得 原方程要有整数解则 为完全平方 而 所以有 不可能为平方数。 所以原方程无整数解。 3、数与式的分解 例3：求 的整数解。 解：原方程通过变形得 则有 从而原方程的解为 4、不等分析法 例4：求 的正整数解。 解：因 所以 又因为 为偶数，所以 只能为4，16 代入得 =16， 所以原方程的解为（4，3） 5、分离整数部分法 例5：求 的整数解。 解：因为x=-1不是方程的解，所以原方程为 所以有x+1|2，即x=0，-2，1，-3得原方程的解为(0,4),(-2,0),(1,3),(-3,1). 6、求根公式法 例6：求 的整数解。 解：把它看成x的二次方程有 由根号里面大于等于0，得y只能1，2，3 代入得到方程的解为(2,1),(1,1),(1,2),(3,2),(3,3),(2,3) 7、利用韦达定理 例7：求 的正整数解。 解：把它看成x的二次方程，设根为 则有 所以两根同奇偶，且 除4，余数不为0 所以两根只能是1，3，5和11，9，7 又两根之积减2是平方数。所以 只能是 1，11和3，9。所以原方程的解为(1,3), (11,3),(3,5),(9,5). 8、换元法 例8：求 的正整数解。 解：由题意有 于是令y=tx，则有 由韦达定理得 因为1981=1*1981=7*283，只有 得y=10，从而得原方程解为（70，10）（2830，10）。 8、换元法 例8：求 的正整数解。 解：由题意有 于是令y=tx，则有 由韦达定理得 因为1981=1*1981=7*283，只有 得y=10，从而得原方程解为（70，10）（2830，10）。 9、其它方法 例9：求 的正整数解。 解：原方程为 而由勾股定理有 或 所以方程的解为（3，8），（4，6） * * 1、什么是不定方程？ 顾名思义即方程的解不定.一般地有 第二章 不定方程 定义：不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，或未知数受到某种限制(如整数 ，正整数等）的方程和方程组。 3、本章学习内容 (1）二元一次不定方程 （2）多元一次不定方程 （3）勾股数组 （4)费马大定理简介 (5)几类特殊的不定方程 §1 二元一次不定方程 定义：形如 其中 ( )a,b,c为整数的方程称为二元一次不定方程。 例：2X+3Y=5 5U+6V=21 定理： 有解的充要条件是(a,b)|c 证：设方程有解 则有 因为（a,b)|a, (a,b)|b ,因而 (a,b)|c 反之，设(a,b)|c,则 由最大公因数的性质存在s,t 使得as+bt=(a,b) 令 即为方程的解 3、二元一次不定方程有解的情况下解的结构 定理：设 是方程的一组解，则不定方程有无穷解，其一切解可表示成