[小学教育]第十章 无穷级数2.ppt

这里用比值法判断级数的收敛性时, 虽然如此,也还能利用比值, 正项级数及其审敛法 求出比值的极限为1, 比值审敛法失效. 从而得到一般项不收敛于零. 因为 恒大于1, 常数项级数敛散性的判别 正、负项相间的级数称为 莱布尼茨 (Leibniz) (德) 1646–1716 定义 alternate series 交错级数. 定理10-7 (交错级数判别法或Leibniz判别法) 二、交错级数敛散性的判别 常数项级数敛散性的判别 证 由条件(1): 分析 交错级数及其审敛法 常数项级数敛散性的判别 满足收敛的两个条件, 定理证毕. 也是一个交错级数. 交错级数及其审敛法 由条件(2): 常数项级数敛散性的判别 注 un与un+1大小的方法有三种: (1)比值法, ? ? (3) 由un找出一个连续可导函数 考察 ? (2)差值法, 交错级数及其审敛法 用莱布尼茨定理判别交错级数 是否收敛时, 要考察un与un+1大小, 比较 常数项级数敛散性的判别 解 原级数收敛. 此级数为 交错级数及其审敛法 例 判别级数 的收敛性. 交错级数. 常数项级数敛散性的判别 注 条件(2) Leibniz定理条件中 交错级数及其审敛法 只是充分条件. 是收敛的必要条件. Leibniz定理 则级数收敛. 如果交错级数满足条件: 常数项级数敛散性的判别 例 但条件(1) 故 级数 判别级数 的敛散性. 解 交错级数 可知leibniz定理的条件(2)满足, 不满足, 故用莱氏定理是无法判别的, 但是因为 发散. 收敛, 发散, 常数项级数敛散性的判别 任意项级数 任意项级数 正项级数 思想是: 定义1 可正, 可负, 可0. 常数项级数敛散性的判别 三、任意项级数敛散性的判别 定理10-8 注 上述定理的逆定理是否成立？ 否 例如， 交错级数 收敛， 但是 发散。 证 设级数 正 任意项级数敛散性的判别 收敛. 显然, 比较判别法 常数项级数敛散性的判别 定理10-8 定义2 绝对收敛. 条件收敛. 任意项级数敛散性的判别 定理10-8 绝对收敛必收敛，但收敛不一定绝对收敛。 例 解 (1) 所以原级数 收敛. 绝对收敛. 是条件收敛还是绝对收敛. 是等比级数, 判定下列级数的敛散性,对收敛级数要指明 常数项级数的审敛法 任意项级数敛散性的判别 解 因为 又 (2) 由正项级数的比值判别法知, 从而级数(2) 由于使用的是比值判别法而判定的级数(2) 因此 级数 发散, 不绝对收敛. 不绝对收敛, 发散. 级数(2)是 断定 正项级数 常数项级数敛散性的判别 任意项级数敛散性的判别 通常先考查它 若使用比值法或 根值法判定级数不绝对收敛(这时级数的通项不趋于零), 对交错级数, 利用无穷级数的性质1、2 将级数 如不是绝 对收敛的,再看它是否条件收敛. 便可断言级数发散. 可用 Leibniz定理. 然后讨论敛散性也是常用手段. 拆开为两个级数, (用正项级数的判别法), 讨论任意项级数的收敛性时, 是否绝对收敛 常数项级数敛散性的判别 任意项级数敛散性的判别 例 解 由于 收敛. 正项级数 常数项级数敛散性的判别 任意项级数敛散性的判别 绝对收敛 . C 例 解 绝对收敛 条件收敛 常数项级数敛散性的判别 任意项级数敛散性的判别 绝对收敛 . B 正项级数判别法的思维程序 四、小结 1. 2. 若 比值、根值法; 若失效 3. 比较判别法的极限形式 4. 5. 充要条件 6. 按基本性质 7. ? 比较判别法 发散; 常数项级数敛散性的判别 任意项级数审敛法的思维程序 3. 交错级数(Leibniz定理) 1. ? 发散 2. 绝对收敛 4. 按基本性质 5. 常数项级数敛散性的判别 思考题 是非题 是 由比较审敛法知 收敛. 非 例如 收敛, 发散. (1) (2) 常数项级数敛散性的判别 作 业 习题10-2(191页) 1.(2)(4)(6) 2.(2)(4)(6) 4. (1)(3)(6)(8) 8. 9. 常数项级数敛散性的判别 例 证明级数 并估计以级数的部分和sn近似代替和s 解 以级数的部分和sn近似代替和s 正项级数及其审敛法 是收敛的, 所产生的误差. 所产生的误差为: 常数项级数敛散性的判别 * 无穷级数 正项级数敛散性的判别 交错级数敛散性的判别 小结 思考题 作业 第二节 常数项级数敛散性的判别 第十章 无穷级数 任意项级数敛散性的判别 1. 定义 正项级数 2. 收敛的充要条件 单调增加数列 这时,只可能有两种情形: 正项级数及其审敛法 常数项级数敛散性的判别