[工学]22传感器拉普拉斯变换.ppt

第2章拉普拉斯变换 1 拉普拉斯变换的概念 2 拉普拉斯变换的性质 3 拉普拉斯逆变换 4 拉氏变换的应用及综合举例 §1 拉普拉斯变换 §1.1 拉普拉斯变换的概念 定义1 设函数 当 有定义,而且积分 §1.2 拉普拉斯变换存在定理 §1.3 一些常用函数的拉普拉斯变换 §1.4 周期函数的拉普拉斯变换 2 拉普拉斯变换的性质 2.2 相似性质 2.3平移性质（1）象原函数的平移性质 （2）象函数的平移性质 2.4 微分性质（1）象原函数的微分性质 （2）象函数的微分性质 2.5 积分性质 2.7 拉氏变换的卷积与卷积定理 3 拉普拉斯逆变换 求拉普拉斯逆变换的方法主要有留数法、部分分式法、查表法等. 我们简单介绍留数法和查表法. 3.1 利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆变换 拉氏逆变换的性质 3.2 利用留数定理求拉氏逆变换 定理：设 除在半平面 内有限个孤立奇点 外是解析的，且当 时， ，则有 即 4 拉普拉斯变换的应用 4.1常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法 利用拉普拉斯变换可以比较方便地求解常系 数线性微分方程（或方程组）的初值问题,其基本步骤如下: （1）根据拉普拉斯变换的微分性质和线性性质,对微分方程（或方程组）两端取拉普拉斯变换,把微分方程化为象函数的代数方程; （2）从象函数的代数方程中解出象函数; （3）对象函数求拉普拉斯逆变换,求得微分方程（或方程组）的解. * 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 * Anhui Science and Technology University 理学院 单击此处编辑母版标题样式 * 在 所确定的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为 是一个复参量） 我们称上式为函数 的拉普拉斯变换式 ,记做 ? 叫做 的拉氏变换,象函数. 叫做 的拉氏逆变换,象原函数, = ? 的增长速度不超过某一指数函数,亦即存在常数 若函数 满足下列条件 Ⅰ 在 的任一有限区间上连续或分段连续, 时, Ⅱ 当 时, 及 ,使得 成立,则函数 的拉氏变换 在半平面 上一定存在.此时右端的积分绝对收敛而且一致收敛.并且在此半平面内 为解析函数 例2 求单位阶跃函数 的拉氏变换  解 ? 例1 求单位脉冲函数 的拉氏变换  解 ? 例3 求函数 的拉氏变换  解 ? 例4 求单位斜坡函数 的拉氏变换  解 ? 例5 求幂函数 的拉氏变换  解 ? 当 为正整数时, ? 例6 求正弦函数 的拉氏变换  ? 解 则 所以 ? 即 同理可得 如 ? ? 是周期为 当 在一个周期上连续或分段连续时,则有 这是求周期函数拉氏变换公式 的周期函数,即 可以证明:若 ? 2.1 线性性质 设 为常数则 ? ? ? ? 若 = ? 则 ? ? 为非负实常数,则 ? ? ? 例7 求函数 的拉氏变换 解 因为 ? 所以 ? 若 为实常数,则 ? ? 若 ( 为正整数). 例8 求 解 因为 ? ? ? ? 所以 ? ? 则 一般地, ? ? 若 ? 特别地,当 时, ? 可以证明 ? 若 则 ? 从而 ? ? ? ? 例9 求函数 解 因为 同理,? ? ? 所以,? 若 ? 则 ? ? （1）象原函数的积分性质 一般地 ? 且积分 收敛 若 ? 则 ? ? （2）象函数的积分性质 一般地 ? 或 推论 若 则 ? 且积分 收敛 例10 求? 解 因为 ? 所以 ? ? 顺便可得 (1) 上的卷积定义 若函数 满足, 时都为零, 称为函数 在 上的卷积. 则可以证明卷积 例11对函数 计算 上的卷积 解 (2)拉氏变换的卷积定理 若 则 ? ? ?