[工学]图论及应用 22.ppt

* 如果我们用同一颜色给同一时段的课程顶点染色，那么，问题转化为在状态图中求对应于点色数的着色。 (1) 求点色数 一方面，因图中含有奇圈(红色边), 所以，点色数至少为3。又因为点LA与该圈上每一个点均邻接，所以，点色数至少为4. GT MA G AC LA S 选课状态图 另一方面，我们用4种色实现了G的正常点着色，所以，图的点色数为4. * (2) 求安排----具体着色 GT MA G AC LA S 选课状态图 * 例2 交通灯的相位设置问题：如图所示，列出了繁华街道路口处的交通车道L1,L2,…,L9。在此路口处安置了交通灯。当交通灯处于某个相位时，亮绿灯的车道上的车辆就可以安全通过路口。为了(最终)让所有的车辆的灯都能够安全通过路口，对于交通灯来说，所需要的相位的最小数是多少？ L5 L4 L3 L2 L1 L9 L8 L7 L6 * 解：车道模型为顶点，两点连线当且仅当两个车道上的车不能同时安全地进入路口。 L9 L8 L7 L6 L5 L4 L3 L2 L1 G 问题转化为求G的点色数。一方面，G中含有K4,所以，点色数至少为4； L9 L8 L7 L6 L5 L4 L3 L2 L1 G * 另一方面，通过尝试，用4种色实现了正常点着色。 所以，最小相位为4。 L9 L8 L7 L6 L5 L4 L3 L2 L1 G 2 1 1 2 2 4 3 4 3 P187---190 习题7 ：7----9 * 本次课主要内容 (一)、相关概念 (二)、图的点色数的几个结论 (三)、四色与五色定理 图的顶点着色 (四)、顶点着色的应用 * 跟图的边着色问题一样，生活中的很多问题，也可以模型为所谓的图的顶点着色问题来处理。例如课程安排问题。 (一)、相关概念 课程安排问题：某大学数学系要为这个夏季安排课程表。所要开设的课程为：图论(GT), 统计学(S),线性代数(LA), 高等微积分(AC), 几何学(G), 和近世代数(MA)。现有10名学生(如下所示)需要选修这些课程。根据这些信息，确定开设这些课程所需要的最少时间段数，使得学生选课不会发生冲突。(学生用Ai表示） A1: LA, S ; A2: MA, LA, G ; A3: MA, G, LA; A4: G, LA, AC ; A5: AC, LA, S ; A6: G, AC; A7: GT, MA, LA ; A8: LA,GT, S ; A9: AC, S, LA; * A10: GT, S。 把课程模型为图G的顶点，两顶点连线当且仅当有某个学生同时选了这两门课程。 GT MA G AC LA S 选课状态图 * 如果我们用同一颜色给同一时段的课程顶点染色，那么，问题转化为在状态图中求所谓的点色数问题。 GT MA G AC LA S 选课状态图 * 定义1 设G是一个图，对G的每个顶点着色，使得相邻顶点着不同颜色，称为对G的正常顶点着色； 如果用k种颜色可以对G进行正常顶点着色，称G可k正常顶点着色； 对图G正常顶点着色需要的最少颜色数，称为图G的点色数。图G的点色数用 表示。 例1 说明下图的点色数是4。 GT MA G AC LA S * 解：一方面，由图的结构特征容易知道 另一方面，通过具体着色，用4种颜色可以得到该图的一种正常点着色，则： GT MA G AC LA S 所以， * 注：对图的正常顶点着色，带来的是图的顶点集合的一种划分方式。所以，对应的实际问题也是分类问题。属于同一种颜色的顶点集合称为一个色组，它们彼此不相邻接，所以又称为点独立集。用点色数种颜色对图G正常着色，称为对图G的最优点着色。 定义2 色数为k的图称为k色图。 (二)、图的点色数的几个结论 定理1 对任意的图G，有： 分析：事实上，定理结论容易想到，因为任意一个顶点度数至多为Δ，因此，正常着色过程中，其邻点最多用去Δ种颜色，所以，至少还有一种色可供该点正常着色使用。 * 证明：我们对顶点数作数学归纳证明。 当n=1时，结论显然成立。 设对顶点数少于n的图来说，定理结论成立。考虑一般的n阶图G。 任取v ∈V(G), 令G1=G-v， 由归纳假设： 设п是G1的一种Δ(G)+1正常点着色方案，因为v的邻点在п下至多用去Δ(G)种色，所以给v染上其邻点没有用过的色，就把п扩充成了G