[工学]第3章 连续系统数字仿真通用算法.ppt

第3章 连续系统数字仿真通用算法 章节概览 3.1 数值积分算法 3.2 实时仿真算法 3.3 数字控制系统仿真 3.1 数值积分算法 二、亚当姆斯积分算法 四阶亚当姆斯积分算法 多步 显式 算法思路： 用三次多项式对 fn-3、fn-2、fn-1和 fn 进行外插值，得到 fn+1，将其代入四阶隐式积分算法而得。 3.1.3 线性多步法 1.设一微分方程为， 。试用欧拉法、改进欧拉法、中点公式求其数值解，并画出曲线。 h=0.2s，仿真时间t=2s 作业 2.写出用四阶RK公式求初值问题的计算公式，取h=0.2。仿真时间t=2s。 3.用中点公式及四阶RK公式求初值问题，取h=0.2,仿真时间 t =2s 计算公式的推导 截断误差的推导 物理意义：用左矩形面积代替积分 计算公式的推导 截断误差的推导 物理意义：用右矩形面积代替积分 计算公式的推导 截断误差的推导 物理意义：用梯形面积代替积分 * * * 数值积分算法的类型 一阶常微分方程的一般形式： 显式算法：计算 yn+1 时，没有用到 tn 时刻以后的状态或输入。 隐式算法 单步法：计算 yn+1 时只与 tn 时刻的状态或输入有关。 多步法：计算 yn+1 时要用到 tn 时刻以前的状态或输入。 3.1.1 欧拉法和改进的欧拉法 一、前向欧拉(Euler)算法计算公式： 截断误差： 单步 显式 一阶 二、后向欧拉算法计算公式： 截断误差： 一阶 3.1.1 欧拉法和改进的欧拉法 单步 隐式 例3.1 设系统方程为 )， 试用Euler法求其数值解（取仿真步距 ， 解：原方程为 前向欧拉法的递推公式为: 3.1.1 欧拉法和改进的欧拉法 后向欧拉法的递推公式为 解此方程可得 3.1.1 欧拉法和改进的欧拉法 (例3.1 续) 三、梯形公式 截断误差： 二阶 单步隐式 梯形法的几何意义 3.1.1 欧拉法和改进的欧拉法 例3.2 设系统方程为 )， 试用梯形法求其数值解（取仿真步距 解：原方程为 梯形法的递推公式为 解此代数方程可得： 3.1.1 欧拉法和改进的欧拉法 3.1.1 欧拉法和改进的欧拉法 四、改进的欧拉公式（预测-校正法） 单步 显式 一、龙格-库塔（Runge-Kutta）积分算法思路 间接利用泰勒展开式。用在若干个点上函数值 f(t,y) 的线性组合来代替高阶导数项，既可以避免计算高阶导数，又可以提高数值计算精度。 3.1.2 龙格-库塔法 二、二阶Runge－Kutta法 由Euler法 二阶Runge-Kutta 法的构造 3.1.2 龙格-库塔法 记 待求的参数 ， 和 将 在 处展开成Taylor级数，有 3.1.2 龙格-库塔法 Taylor 3.1.2 龙格-库塔法 二阶显式Runge-Kutta方法(RK2) 局部截断误差 取 ，求得 ， ，得到下面的公式 3.1.2 龙格-库塔法 二、二阶Runge－Kutta法 改进的Euler公式 取 ，求得 ， ，得到下面的公式 3.1.2 龙格-库塔法 二、二阶Runge－Kutta法 中点公式 单步 显式 3.1.2 龙格-库塔法 单步 显式 三、三阶Runge－Kutta法 四、经典显式四阶Runge-Kutta法 (RK4) 3.1.2 龙格-库塔法 单步 显式 例3.3 设系统方程为 试用显式四阶Runge—Kutta法求其数值解 （取仿真步距 解：原方程为 递推公式可写为 3.1.2 龙格-库塔法 3.1.2 龙格-库塔法 3.1.2 龙格-库塔法 对于线性定常系统 RK4的4个 向量可表示为 3.1.2 龙格-库塔法 五、矩阵分析法（RK4解状态方程） 例3.4 已知系统方程为 取积分步长 ，试用四阶龙格库塔法计算 时 的值。 解： 原系统的状态方程为 3.1.2 龙格-库塔法 对应于系数矩阵为 计算所有变量的第一个RK系数向量 2. 计算所有变量的第二个RK系数向量 3.1.2 龙格-库塔法 3. 计算所有变量的第三个RK系数向量 4. 计算所有变量的第四个RK系数向量 5. 计算第一步的近似值。 3.1.2 龙格-库塔法 一、高阶隐式积分算法 三阶隐式积分算法： 算法思路： 用抛物线过 fn-1、fn 和 fn+1 三点进行插值，完成积分运算而得。 3.1.3 线性多步法 一、高阶隐式积分算法 四阶隐式积分算法： 算法思路： 用三次多项式过 fn-2、fn-1、fn 和 fn+1 四点进行插值，完成积分运算而得。 3.1.3 线性多步法 二、亚当姆斯（Adams）积分算法 二阶亚当姆斯积分算法 多步 显式 算法思路： 用线性插值法对 fn-1和fn 进行外