[工学]第3章1线性方程组的迭代解法.pdf

第3章 逐次逼近法 求解线性方程组的迭代解法 本章主要介绍求解线性方程组、非线性方程 之 迭代解法 3.1 解线性方程组的迭代法 前面已经介绍了用直接法求解线性方程组： Ax b （3-1 ） n n× n n 其中 A ∈R , b ∈R , x ∈R 在用直接法求解的过程中，我们发现系数矩阵A 在不断 变动，如果A 的阶数较大时，占用计算机的内存就很大，而 且程序较复杂，对程序设计的技巧要求也较高。 因此，我们希望找到一种在求解过程中系数矩阵不变, 且程序设计又不复杂的求解方法，这种方法就是迭代法。 使用迭代法求解（3-1 ）时，首先要将它变形，变成如下形 状的等价方程组 xx BxBx ff ++ （3-2 ） 其中 n n× n n B ∈R f ∈R x, ∈R , 即（3-1 ）的解是（3-2 ）的解，反之，（3-2 ）的解也 是（3-1 ）的解。用不同的方法构造（3-2 ）就可得到不同的 Ax b （3-1 ） ⇔ ⇒ 迭代法。 （3-2 ）中的矩阵B称为迭代矩阵。 如果已导出（3-1 ）的等价方程组 （3-2 ）后，计算 （3-1 ） 的解就变成求序列的极限。 ((00)) 取初始向量 xx 代入 x = Bx + f 的右端。 (1) (0) (1) (1) Bx f + x Bx fx + Bx f + (2) ((21)) (2) x Bx fx +Bx +f (3) (2) x Bx f + 其一般形式为 ( 1) ( )k + ( k0, 1, 2, )k L （3-3 ） x Bx f + 通常称使用（3-3）式求解的方法为迭代法，也称迭代过 程或迭代格式。 ( ) *k (0) x x → 。 如果对任意 x ，都有当 k →∞ 时