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[工学]第7章 二阶电路分析

§7-3 直流激励下RLC串联电路的响应 §7-4 RLC并联电路的响应 电路的全响应由对应齐次微分方程的通解与微分方程的特解之和组成 电路的固有频率为 当电路的固有频率s1?s2时,对应齐次微分方程的通解为 微分方程的特解为 全响应为 利用以下两个初始条件 可以得到 对uC(t)求导,再令t=0得到 求解这两个代数方程,得到常数K1和K2后就可得到uC(t)。 例7-4 电路如图所示。已知 R=4?,L=1H, C=1/3F, uS(t)=2V,uC(0)=6V,iL(0)=4A。求t0时,电容电 压和电感电流的响应。 解:先计算固有频率 这是两个不相等的负实根,其通解为 特解为 全响应为 利用初始条件得到 联立求解以上两个方程得到 最后得到电容电压和电感电流的全响应 例7-5 电路如图所示。已知R=6?, L=1H, C=0.04F, uS(t)= ?(t)V。求t0时电容电压的零状态响应。 解:t0时,?(t)=1V,可以作为直流激励处理。首先计算 电路的固有频率 根据这两个固有频率s1=-3+j4和s2=-3-j4,可以得到全响应的表达式为 利用电容电压的初始值uC(0)=0和电感电流的初始值iL(0)=0得到以下两个方程 求解以上两个方程得到常数K1=-1和K2=-0.75,得到电容电压的零状态响应 可以用计算机画出电容电压和电感电流零状态响应的波形。 注:图(c)和(d)表示当电阻由R=6Ω减小到R=1Ω,衰减系数由3变为0.5时的电 容电压和电感电流零状态响应的波形曲线。 图9-7 第7章 二阶电路分析 ● 二阶电路:由一个二阶微分方程或两个联立的一阶微分方程描述的电路。 ● 电路中含有两个储能元件(一个L 和一个C;或两个独立的L 或两个独立 的C)。所谓独立,就是两个L 不能串联或并联,或在电路中与电流源构成 回路;两个C 不能串联或并联,或在电路中与电压源构成回路。否则,仍属 一阶电路。 ● 二阶电路的分析问题是求解二阶微分方程或一阶联立微分方程的问题。与 一阶电路不同的是,这类电路的响应可能出现 振荡 的形式。 理解二阶电路固有频率、振荡和非振荡的概念,重点掌握 RLC串联电路微分方程的建立及相应初始条件、特征方程及其根,并根据特征根判定电路的状态及零输入响应的形式,掌握直流RLC串联电路的全响应及GCL并联电路的分析。 本章学习目的及基本要求 设uC(0)=U0 iL(0)=0,WL(0)=0 C L + – U0 (a) C L i (b) C L + – U0 (c) C L i (d) C L + – U0 (e) C放电, uC↓ WC↓, WL↑ L吸收能量 L释放能量 WL↓, WC↑ C反向充电 C反向放电 WC↓, WL↑ L吸收能量 L释放能量 WL↓, WC↑ C重新充电 由此可见,在由电容和电感两种不同的储能元件构成的电路中,随着储能在电场与磁场之间的往返转移,电路中的电流和电压将不断地改变大小和方向(极性),形成周而复始的振荡 。WC WL 只有一个电容和一个电感组成的电路 §7-2 RLC串联电路的零输入响应 一、RLC串联电路的微分方程 图7-3 RLC串联二阶电路 为了得到图7-3所示RLC串联电路的微分方程,先列出KVL方程 根据前述方程得到以下微分方程 这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。 其特征方程为 其特征根为 则零输入响应方程为 电路微分方程的特征根,称为电路的固有频率。当R,L,C的量值不同时,特征根可能出现以下三种情况: 1. 时, 为不相等的实根。过阻尼情况。 2. 时, 为两个相等的实根。临界阻尼情况。 3. 时, 为共轭复数根。欠阻尼情况。 过阻尼情况 当 时,电路的固有频率s1,s2为两个不相同的实数,齐次微分方程的解答具有下面的形式 式中的两

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