[工学]第二章 时域离散信号和系统的傅立叶变换分析方法.ppt

第二章 时域离散信号和系统的 傅立叶变换分析方法 2.1 引言 对信号和系统进行分析和研究可以在时间域也可以在频率域进行。前面第一章的内容是在时间域对信号和系统进行分析和研究。在时间域中，时域离散信号(序列)x(n)是序数n的函数，这里n可看成时间参量。时域离散系统的单位脉冲响应是系统在时间域的描述，线性常系数差分方程是时域离散系统输入输出之间关系的描述。 2.2 序列傅立叶变换的定义 定义 (2.2.1) 傅立叶变换存在的充分必要条件是序列满足绝对可和的条件，即满足下式：  傅立叶反变换的定义用下式表示：  (2.2.3) 频谱函数可用下式表示： X(ejω)=|X(ejω)|ejarg［X(ejω)］ (2.2.4)  例 2.2.1 已知x(n)=δ(n)，利用傅立叶变换求它的频谱函数。 解 按照定义(2.2.1)式,  因为只有在n=0时，δ(n)=1，而对其他的n，δ(n)=0，因此将n=0带入上式中，可得到  ? ? 上式的结果说明， δ(n)的频谱函数在整个频率轴上保持一个常数1。所有的频率分量均相等，相位函数在整个频率轴上为0。它的幅度特性如图2.2.1所示。 例 2.2.2 设x(n)=RN(n)，求x(n)的傅立叶变换。 解 假设N=4 ，将N=4代入上式，得到： 信号的幅度特性和相位特性随ω的变化曲线如图2.2.2所示。 2.3 序列傅立叶变换的性质及定理 2.3.1 周期性 将傅立叶变换的定义重写如下:  式中n取整数，且式中的指数函数是一个以2π为周期的函数，因此下式成立：  M为任意整数 (2.3.1) 这里序列的直流分量是指如图2.3.1所示的时间波形，这个波形可以看成是一个直流连续信号采样得到的。另外, 我们知道一个时间波形变化愈快，意味着它包含的频率愈高，对于序列变化最快的波形应该是如图2.3.2 所示的波形。 2.3.2 线性性质 傅立叶变换是线性变换，线性变换指的是下面公式成立: 假设 X1(ejω)=FT［x1(n)］, X2(ejω)=FT［x2(n)］ 那么 FT［ax1(n)+bx2(n)］=aX1(ejω)+bX2(ejω) (2.3.2) 2.3.3 时移性和频移性 傅立叶变换的时移性指的是, 如果信号延时n0，那么它的傅立叶变换相应地增加相位移-ωn0； 频移性指的是, 如果信号的傅立叶变换在频率轴上位移ω0，那么时间域信号相应地增加相角ω0n。分别用公式表示如下：  假设X(ejω)=FT［x(n)］ 则FT［x(n-n0)］=e-jωn0X(ejω) (2.3.3)  FT［ejω0nx(n)］=X(ejω-ω0) (2.3.4) (2.3.3)式和(2.3.4)式分别称为傅立叶变换的时移性和频移性。 例 2.3.1 在例2.2.2中已求出x(n)=RN(n)的傅立叶变换为  试求y(n)=x(n-n0)=RN(n-n0)的傅立叶变换。 解 令 n′=n-n0, 即 n=n′+n0 则 将上式与例2.2.2的推导对比，或者按照傅立叶变换的基本定义，可以得到: Y(ejω)=e-jωn0X(ejω) 2.3.4 共轭对称性 例如，复数x=a+jb， 式中a、 b是实常数，如果取它的共轭，则得到x*= a+jb 。又例如，复序列x(n)=ejωn=cos (ωn)+j sin (ωm)，取它的共轭，则得到x*(n)=e -jωn=cos(ωn)-j sin (ωn)。再例如y(n)=jejωn，取共轭则得到y*(n)=-je-jωn。另外, 如果实序列x(n)服从公式x(n)=x(-n)，则称x(n)是一个对称序列，如果服从下面公式：  x(n)=x*(-n) (2.3.5) 则称x(n)是一个共轭对称序列。如果服从下式：  x(n)=-x*(-n)(2.3.6) 则称为共轭反对称序列。以上是用时间域信号说明共轭对称的概念，对频域函数也有相同的共轭对称的概念。假设频域函数X(ejω)服从下式: X(ejω) =X*(e-jω)