[工学]第二章 数字图像处理中的常用数学变换a.ppt

第二章 图像处理中的常用数学变换 北京信息科技大学 光信系 2.1 引言 图像的数学变换的特点在于其有精确的数学背景，是许多图像处理技术的基础。 一种是在空间域上进行的，这些变换根据处理操作的特点，可以分为图像的代数运算和集合运算，它们都是利用对输入图像进行加工而得到输出图像； 另一种重要的数学变换则是将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一些空间，并利用输入图像在这些空间的特有性质有效而快速地对图像进行处理和分析。最典型的变换有离散傅里叶变换，它把空域中的图像信号看作二维时间序列，将其变换到频域来分析图像的频谱特性。除了傅里叶变换外，常用的还有Gabor 变换、小波变换、离散余弦变换、PCA 变换等。无论是在空域中的数学变换还是频域中的数学变换，它们在图像分析、滤波、增强、压缩等处理中都有着非常典型而重要的应用，本章将对这些常用的数学变换做详细的介绍。 2.2.1 代数运算 图像的代数运算是指对两幅图像进行点对点的四则运算而得到一幅新的输出图像。 1.加法运算 若A(x,y)和B(x,y)为输入图像，C(x,y)为输出图像 C ( x , y ) = A ( x , y ) + B ( x , y ) 图像去噪 同一场景中，对多个受白噪声干扰的图像可以通过相加求平均的方式来抑制噪声。 图像叠加 减法运算 若A(x,y)和B(x,y)为输入图像，C(x,y)为输出图像 C ( x , y ) = A ( x , y ) — B ( x , y ) 图像减法也称为差分方法，常用于检测同一场景的运动图像序列中两两图像之间的变化，以检测物体的运动。在控制环境下，或者在很短的时间间隔内，可以认为背景是固定不变的，可以直接使用差分方法检测变化或直接分割出作为前景的物体。 (1)减背景 g(x,y) = f(x,y) – b(x,y) f(x,y):前景背景混合图象 b(x,y):背景图象 （2） 运动探测 检测同一场景两幅图象之间的变化 g(x,y) = T2 (x,y) - T1(x,y) T1(x,y):时间1的图象 T2(x,y): 时间2的图象 （3） 求取边缘（edge) 差分运算也可以用来计算物体边界位置的梯度。梯度定义为： 3.乘法运算（Multiplication ） 乘法可以用来掩盖图像的某部分。 灰度值‘1’的区域得以保留，灰度值为‘0’或其它值的区域被抑制。 4.除法运算 C(x,y) = A(x,y)/ B(x,y) 主要应用举例 常用于遥感图像处理中 2.2.2 几何运算 几何运算可以改变图像中物体之间的空间关系。这种运算可以看成是图像内的各物体在图像内移动的过程。（几何变换不改变像素值，而可能改变像素所在的位置。） 几何运算步骤 为了不至于使图像经过几何运算之后发生断裂或肢解等情况，在大多数应用中，要求保持图像中物体轮廓线的连续性和各物体表面的连通性。为此，一个几何运算需要两个独立的算法。 首先，需要一个算法来定义空间变换本身，用它描述每个像素如何从其初始位置“移动”到终止位置，即每个像素的“运动”；（空间变换） 同时，还需要一个用于灰度级插值的算法，因为，在一般情况下，输入图像的位置坐标（x,y）为整数，而输出图像的位置坐标为非整数，反过来也是如此。 （灰度插值） 1. 空间变换 上图平移运算。其中，点（Xo，Yo）被平移到原点，而图像中的各特征点则移动了 （2）缩放（zoom） 旋转---齐次坐标系表示 （5）复杂变换 在实际中，有时公式化一个解析函数a(x,y)和b(x,y)的集合是不可能的，这些解析函数表达了整个图像平面上的几何失真过程。最常用的克服这一困难的方法是用“控制点”表达像素的空间重定位，这些点是像素的子集，它们在输入（失真的）和输出（校正的）图像中的位置是精确已知的。 常用于几何失真修正，如计算机几何畸变、卫星遥感图像形变等。 2. 灰度插值算法 齐次坐标 几何变换一般形式 根据几何学知识，上述变换可以实现图像各像素点以坐标原点的比例缩放、反射、错切和旋转等各种变换，但是上述2×2变换矩阵T不能实现图像的平移以及绕任意点的比例缩放、反射、错切和旋转等变换。 为了能够用统一的矩阵线性变换形式，表示和实现这些常见的图像几何变换，就需要引入一种新的坐标，即齐次坐标。采用齐次坐标可以实现上述各种几何变换的统一表示。 如图所示，则新位置A1(x1，y1) 的坐标为： 注意：平移后的景物与原图像相同，但“画布”一定是扩大了。否则就会丢失信息。 表示为如下形式 即不能表示为如下形式： 由于矩阵T中没有引入平