[工学]第五章 非线性随机振动.ppt

第五章 非线性随机振动 本章简单介绍非线性系统随机反应分析方法。 （1） 结构的非线性： 几何非线性——应变与位移之间的非线性。 材料非线性（物理非线性） ——应力与应变不服从虎克定律。 阻尼非线性——非线性表现在阻尼项 刚度非线性——非线性表现在刚度项 滞变非线性——非线性表现在阻尼与刚度的偶合项 1、FPK方程法 基本思想： 将结构响应视为马尔柯夫过程，求其概率密度函数。 （对马尔柯夫过程，其概率密度函数完全由初始条件X0和转移概率密度函数P(x,t/x0,t0)所决定。） 而转移概率密度函数P (x,t/x0,t0)则由FPK方程求得。 适用条件： 平稳、非平稳，强非线性、弱非线性都可适用； 响应必须是马尔柯夫过程。 2、随机摄动法（小参数法） 考虑如下的单自由度体系 等价原则： 使二个方程之差的某种度量最小 确定等价线性方程中的参数。 随机等价线性化的原则一般为： 使二个方程的误差过程的均方值最小。 适用条件： 弱非线性体系和强非线性体系； 平稳过程和非平稳过程。 4、另一种统计等价线性化法 ——等价线性化的能量平衡法 将确定性的等价线性化法推广到随机振动问题的一种方法。 等价原则： 实际的非线性力 和等价线性力 在一个振动周期内的平均功率相等，并由此确定等价线性阻尼 ce 和等价线性刚度 ke 。 * * （2）非线性随机振动的特点 从工程应用来看，非线性振动分析更具实用意义。 一般，结构在小激励下才作为线性系统。在结构发生某种损伤之后，其非线性性质更为明显。此时结构响应预测对于结构安全性有重要意义。 严格说，所有结构系统总不同程度地具有某种非线性。 从分析方法来看，非线性振动分析更为复杂和困难。 其原因主要为： 叠加原理不适用 使得对线性反应分析非常有效的脉冲响应函数法、频率响应函数法及模态叠加法不再适用。 正态激励一般得不到正态响应 使得我们不能由反应的二阶统计矩来直接得到反应的概率分布。 激励与响应之间的简单关系不存在 非线性振动有跳跃、混沌现象。 （3）非线性随机振动的分析方法 非线性随机振动的分析方法有二大类： FPK方程法 ——是随机分析特有的； 其它方法：如随机等价线性化法、随机摄动法、统计矩截断法 ——是从确定性非线性振动方法扩展而来 初始条件为 考虑如下多自由度非线性体系： （1）当结构干扰为向量正态白噪声时： 引进状态向量 则方程（A）可化为 （A） （B） 式中，V(t)是m维向量；W2(t)是m维向量正态白噪声；B是m×m维常量矩阵；C是n×m维常量矩阵；0是m维零向量。 式中 （2）当F(t)为向量正态过滤白噪声 并可表示为如下成形滤波器的向量平稳反应时： （C） 引进如下扩充的状态向量 式中 则方程（A）与干扰的滤波方程可以合起来写成 状态方程（B）和（C）是伊藤型随机微分方程，其状态反应是矢量马尔柯夫过程。因此，可用FPK方程法求解。 结论： 当结构干扰为向量正态白噪声或正态过滤白噪声时，可用FPK方程法求解响应的概率密度函数。 假设方程的解可以展开成ε的幂级数： 式中， 称为“小参数”，F(t)是正态平稳随机过程。 基本思想： 将非线性函数 在X和X0附近展开成Talor级数，并将式（2）代入方程（1），令ε的同次幂相等 （2） （1） 则可得一系列线性方程： 按顺序依次求解以上线性方程（Duhaml积分）。 于是，体系反应 的统计矩则由式（2）求得。 反应的均值 其中 可按正态截断法降阶后由 和 的前二阶矩表示；也可按如下的公式计算： 式中： 反应的相关函数 由于干扰 是正态过程，所以