[工学]第五章插值与曲线拟合.ppt

jkhh Confidential, for review only 5.1 问题的提出 函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据, 即在某个区间[a, b]上给出一系列点的函数值 yi= f(xi) 或者给出函数表 例5.3 已知x=1, 4, 9 的平方根值, 用抛物插值公式, 求 5.4 .1 差商及其性质 定义 函数y= f(x)在区间[xi ,xi+1]上的平均变化率 5.4 .1 差商及其性质 f[xi,xj,xk]是指 差商表 例5.11 求 f(xi)= x3在节点 x=0, 2, 3, 5, 6上的各阶差商值 解: 计算得如下表 f(x)=f(x0)+(x- x0)f[x1,x0]+(x- x0)(x-x1)f[x1,x0,x] 如当n=1时， f(x) = f(x0) + (x- x0)f[x1,x0] + (x- x0)(x-x1) f[x1,x0,x] Nn(x)= f(x0) + (x- x0)f[x1,x0] 例 5.12 已知 x = 1, 4, 9 的平方根值，求 解： 例5.15 求 并估计其误差 在区间[ 4 , 9 ]上， 5.4.4 等距节点插值 等距节点 xi+1 - xi = h ， 函数在等距节点上的值为y0 , y1, … , yn ，称 ?yi-1= yi - yi-1 为函数f(x) 在[xi-1, xi]上的一阶差分。称 ?2yi-1= ? yi - ? yi-1= yi+1 - 2yi + yi-1 为函数f(x) 在[xi-1, xi+1]上的二阶差分。称 ?kyi-1= ?k-1yi - ?k-1yi-1 为函数f(x) 在[xi-1, xi+k-1]上的 k 阶差分。 5.4.4 等距节点插值 5.4.4 等距节点插值 ?y0= y1 – y0 ?y1= y2 – y1 ?y2= y3 – y2 等距节点情况下xi= x0+ih ，用差分表示差商： 例5.16 计算 f (x) = x3在等距节点0，1，2，3, 4上的各 阶差分值 5.4.4 牛顿前插公式 取间距为h, 等距节点 x0 x1… xn 顺序建立牛顿差商公式 向后差分 函数y=f(x), 若记y-1=f(x0-h), y-2=f(x0-2h),… 则各阶向后差分 一阶 ? y0= y0- y-1， ? y1= y1- y0， ? y2= y2- y1， … 二阶 ?2y0= ?y0- ?y-1= y0- y-1- (y-1- y-2 )= y0- 2y-1+ y-2 ?2y1= ?y1-?y0 = y1- y0- (y0- y-1 ) = y1- 2y0+ y-1 … K阶 ?ky0= ?k-1y0- ?k-1y-1 ?ky1= ?k-1y1-?k-1y0 例5.16 按下列数值表用牛顿前插公式求y(-0.5) 的近似值 例5.17 估计用线性插值法计算lg47时的误差限 插值公式的唯一性及其应用 插值公式的唯一性 若插值节点相同，则插值公式是唯一的。 Pn(x)与Qn(x)有相同的插值节点， 令Rn(x)= Pn(x)- Qn(x) 对于x=x0, x1,…xn, Rn(xi)= Pn(xi)- Qn(xi)=0 5.6 分段线性插值 5.7.1 三次样条函数 定义5.4 .设函数定义在区间?a, b?上，给定n+1个 节点和一组与之对应的函数值，若函数 满足: （1）在每个节点上满足 S(xi)=f(xi)(i=0,1,…,n) （2）在?a, b?上有连续的二阶导数 （3）在每个小区间? xi,xi+1? (i=0,1,…,n-1) 上是一个三次多项式。 则称S(x)为三次样条插值函数。 其中四个待定系数为 ,子区间共有n个 所以要确定S(x)需要4n个待定系数。 另一方面,要求分段三次多项式S(x)及其导数 和 在整个插值区间?a,b?上连续,则要求它们在 各个子区间的连接点 上连续， 即满足条件 由样条函数的定义可