[工学]自动控制原理 状态空间法.ppt

上述方法成立的一个重要基础是需证明 线性无关,若作为基底,则 是A关于基底的表示。 一种特殊情况,若A为友阵时,则可直接给出变换阵P 称P 为范德蒙矩阵,它能使友阵A,作相似变换后得 4.化状态方程为约当规范形(化A阵为约当形矩阵) 这种情形实际是A阵特征值有重根的情形.--如果A阵有重根则只能化成约当形矩阵 约当规范形的推导比较复杂,我们这里不加证明地给出下述结论: 设A的特征值有q个重根,其余(n-q)个根为互异根,将A阵化为约当规范形的形式为: 相应的变换矩阵 其中 是对应于n-q个互异单根的特征向量,求法同对角规范形。 是对应于q个重根的各特征向量,它们的计算按下式. 其中. 是 的特征根对应的特征向量, 称为广义特征向量 显而易见在这种变换下,状态方程的约当规范形为 五.状态空间表达式与传递函数阵间的变换 注意:该变换仅适用于零初始松驰的线性定常系统. 传函矩阵的概念 显而易见,单输入/单输出定常系统的传函概念和方法,亦可推广到多输入/多输出的定常线性系统,此时传函则是以一个矩阵来表示,该矩阵称为传函矩阵. 例如下例,例了描述了两个输入/输出系统的传递函数表示法. 根据上图,可以写出系统的输入/输出描述的数学模型. 写成矩阵形式 或简写为 称 为输出向量 与输入向量 之间的传函矩阵,显然我们可以将 推广到m×r的情形,即r个输入,m个输出. 状态空间表达式与传函阵之间的关系 (1)线性定常系统单输入/单输出的传递函数 设动态方程 对动态方程作零初始条件下的拉氏变换得到 令 ，并解方程,得到 由于 则 讨论: 1).如果 中不存在零点对消,则A的特征值是 的极点。 2).此时 是一维的. (2)线性定常多输入/多输出系统的传函矩阵 仿前例,对动态方程进行拉氏变换(零初始条件) 从而得到 显然传函矩阵 (3)多输入/多输出传函的特点 （a）输入/输出传函描述的最大特点是清楚地反映了每个输入分量对输出分量的影响,如果 是对角形的,则称系统是解耦的。 （b）传函矩阵的不变性 对同一系统,尽管状态空间表达式可以有多样性或非唯一性,但传函是唯一的。 4.状态空间描述的结构图(或称状态变量图) 例:根据上例画出结构图. 解:先将例子写成下述形式 则结构图为: 画法: 1)根据状态方程从方程右边开始画起. 2)通过∫积分环节得到状态. 3)通过状态反馈的组合得到状态的微分 4)通过状态的组合得到输出. 5.输入/输出描述和状态变量描述的比较 (1)系统的输入/输出描述仅揭示系统在初始松驰的假定下输入—输出间的关系.因此对非松驰系统不能采用这种描述.尤为重要的问题,此描述不能揭示非初始松驰时系统将发生的行为,也不能揭示系统的内部行为. (2)对于甚为复杂的线性系统,求其动态方程描述是很繁的,在此情况下,借助于直接测量求取输入/输出描述可能稍容易一些. (3)状态变量法中的各种结果均能以传递函数法得到. (4)状态空间表达式能够推广到时变情形,且这种状态空间描述方程可适用于多种现代设计方法. (5)在非线性系统的研究中,可以根据不同的方法,而采用上述两种描述方法中的一种. (6)采用状态空间描述的形式,可方便地进行计算机仿真. 三.状态空间表达式的建立 根据系统的物理机理,直接写出状态空间表达式,如例2. 方法:依据有关物理定律,或直接建立所选择状态变量的一阶微分方程组.或将得到的微分方程化为所选状态变量的一阶微分方程组. 讨论: (1)这种方法要求系统是完全可数学描述的,即结构和参数必须是确定的物理系统. (2)系统是能描述的简单物理系统.在一般情况下,只有简单的物理系统才能直接建立按所选择状态变量的一阶微分方程. (3)复杂物理系统,在这种情况下,对系统的描述可能是n阶的线性微分方程,故而需将高阶微分方程转成一阶微分方程形式. 根据系统微分方程建立状态空间表达式. 1.输入项中不含输入导数项的线性系统空间状态表达式 系统描述为: (1)