[工学]自动控制系统第四版李亚普诺夫稳定性分析.ppt

9.4 李雅普诺夫稳定性分析 概 述 一个自动控制系统要能正常工作,必须首先是一个稳定的系统。 稳定性的定义为： 当系统受到外界干扰后,显然它的平衡被破坏,但在外扰去掉以后,它仍有能力自动地在平衡状态下继续工作。 如果一个系统不具有上述特性，则称为不稳定系统。 分析一个控制系统的稳定性,一直是控制理论中所关注的最重要问题。 对于简单系统，常利用经典控制理论中线性定常系统的稳定性判据，如劳斯-赫尔维茨(Routh-Hurwitz)判据、根轨迹判据和奈奎斯特判据等，都给出了既实用又方便的判别系统稳定性的方法。但这些稳定性判别方法只适用于线性定常系统, 不能推广到时变系统和非线性系统。 现代控制系统的结构比较复杂,大都存在非线性或时变因素, 在解决这类复杂系统的稳定性问题时,最通常的方法是基于李雅普诺夫第二法而得到的一些稳定性理论,即李雅普诺夫稳定性定理。 早在1892年,俄国学者李雅普诺夫（Aleksandr Mikhailovich Lyapunov ， 1857 – 1918) 发表题为“运动稳定性一般问题”的著名文献,建立了关于运动稳定性研究的一般理论。 第一类方法是将非线性系统在平衡状态附近线性化,然后通过讨论线性化系统的特征值(或极点)分布及稳定性来讨论原非线性系统的稳定性问题。 这是一种较简捷的方法,与经典控制理论中判别稳定性方法的思路是一致的。 该方法称为间接法,亦称为李雅普诺夫第一法。 第二类方法不是通过解方程或求系统特征值来判别稳定性,而是通过定义一个叫做李雅普诺夫函数的标量函数来分析判别稳定性。 由于不用解方程就能直接判别系统稳定性,所以第二种方法称为直接法,亦称为李雅普诺夫第二法。 李雅普诺夫稳定性理论不仅可用来分析线性定常系统,而且也能用来研究 时变系统、 非线性系统,甚至 离散时间系统、 离散事件动态系统、 逻辑动力学系统 等复杂系统的稳定性,这正是其优势所在。 可是在相当长的一段时间里,李雅普诺夫第二法并没有引起研究动态系统稳定性的人们的重视,这是因为当时讨论系统输入输出间关系的经典控制理论占有绝对地位。 随着状态空间分析法引入动态系统研究和现代控制理论的诞生,李雅普诺夫第二法又重新引起控制领域人们的注意,成为近40年来研究系统稳定性的最主要方法,并得到了进一步研究和发展。 本章节将详细介绍李雅普诺夫稳定性的定义,李雅普诺夫第一法和第二法的理论及应用。 1 平衡状态 设我们所研究的系统的状态方程为 其中x为n维状态变量；f(x,t)为n维的关于状态变量向量x和时间t的线性或非非线性向量函数。 由于导数表示的状态的运动变化方向,因此平衡状态即指能够保持平衡、维持现状不运动的状态,如图所示。 对于李雅普诺夫渐近稳定性，还有如下说明： 稳定和渐近稳定，两者有很大的不同。 对于稳定而言，只要求状态轨迹永远不会跑出球域S(xe,?)，至于在球域内如何变化不作任何规定。 而对渐近稳定，不仅要求状态的运动轨迹不能跑出球域，而且还要求最终收效或无限趋近平衡状态xe。 二、李雅普诺夫第一法（间接判别法） 李雅普诺夫第一法（间接法） 是利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法，它适用于线性定常、线性时变及可线性化的非线性系统。 定理1：线性定常系统的特征值判据 对于系统 1)系统的每一个平衡状态是在李雅普诺夫意义下稳定的充要条件是：系统矩阵A的全部特征值具有非正实部，且具有零实部的特征值为A的最小多项式的单根。 2)渐近稳定的充要条件是：系统矩阵A的全部特征值具有负实部，即 李雅普诺夫第二法（直接法）基本原理 ：根据物理学原理，若系统贮存的能量（含动能与位能）随时间推移而衰减，系统迟早会到达平衡状态。 实际系统的能量函数表达式相当难找，因此李雅普诺夫引入了广义能量函数，称之为李雅普诺夫函数。它与 及t 有关，是一个标量函数，记以 ；若不显含t ，则记 。 考虑到能量总大于零，故为正定函数。能量衰减特性用 或 表示。 实践表明，对于大多数系统，可先尝试用二次型函数 作为李雅普诺夫函数。 1、标量函数定号性 正定性：标量函数 在域S中对所有非零状态 有 且 ，则称 均在域S内正定。如 是正定的。 正（负）半定性： ，且 在域S内某些状态处有 ，而其它状态处均有 （ ），则称 在域S内正（负）半定。 设 负半定，则 为正半定。如