[工学]自控原理CH4060314.ppt

第四章 线性系统的根轨迹法 4-1.根轨迹概念 4-2.绘制根轨迹的基本方法 4- 3.广义根轨迹 如图： 根轨迹与系统性能 通过根轨迹图，可以对系统如下性能做研究： (1)稳定性 若系统轨迹进入s右半面，则系统不稳定，根轨迹与虚轴交点处为临界稳定。 (2)稳态性能 推算出开环增益。 (3)可以通过根轨迹图来确定系统的振型。 根轨迹方程 系统特征方程：1+ G(s)H(s) =0，即 4-2.绘制根轨迹的基本法则 法则1. 根轨迹起源于开环极点，终于开环零点。 法则2. 根轨迹的分支数、对称性和连续性： 根轨迹的分支数与开环有限零点数 m、开环有限极点数 n 中的大者相等，连续对称于实轴。 法则3. 当nm时，根轨迹当 K*??的渐进线可由下式而定： 例4-1.设系统结构如图，试绘制其概略根轨迹。 (3).实轴上 [-3，-2] 内有一分离点 d ： 例4-2.设单位反馈系统开环传递函数为： 试绘制闭环系统根轨迹。 事实上，该根轨迹图在复平面上圆的一部分：设?+j?是复平面上根轨迹的一点，则根据相角关系得： 2).根轨迹有4条分支： 始于0，-2.5， -0.5+j1.5，-0.5-j1.5； 终于-1.5，-?，-2+j，-2-j； §4.3 特殊根轨迹图--广义根轨迹 4.3.1参数根轨迹：不以增益K为参量的根轨迹图 4.3.2 零度根轨迹：正反馈系统的根轨迹 法则1. 起止点：根轨迹起源于开环极点，终于开环零点。 4.3.3 延迟环节的根轨迹 4.4.1 根轨迹与稳定性 4.4.2 开环零极点对系统的影响 4.4.3 零、极点相消问题 4.4.4 闭环极/零点与时间响应 闭环特征方程为： （1）开环零点为参量的根轨迹 上式两边同除s(1+5s)+5就得到： 相当于n=2 ,m=1, z1=0,p1,2=-0.1±j0.95 。 注意： 这里的z1,p1,p2并不是图（a）所示系统的开环零、极点， 图4-7 开环零点为参量的根轨迹 K=2.5 2.5 （2）开环极点为参量的根轨迹 闭环特征方程为： 上式两边同除以s(s+1)+2.5，得到： T作为参量，它就是典型根轨迹方程的形式，相当于n=2,m=3,nm！。因为 等价系统的开环零、极点为： 这样，用基本规则就可绘出根轨迹如图4-8（b）。这个根轨迹图明确表示了图4-8（a） 系统中T对闭环节点的影响。 图4-8 开环极点为参量的根轨迹 2.5 多个参量的根轨迹------根轨迹族 1）先固定参数A，画B参数根轨迹； 2）增加参数A，再画B参数根轨迹，获得一族根轨迹 ------根轨迹族 这时特征方程变成： 对应的相角条件变成： 由于相角条件的改变，导致规则3)、4)和6) 变化： 法则2. 根轨迹的分支数、对称性和连续性： 根轨迹的分支数与开环有限零点数 m、开环有限极点数 n 中的大者相等，连续对称于实轴。 法则3.渐近线与实轴的夹角为 法则4.实轴上根轨迹:某一段如果其右边实轴上的开环零、极点总数是偶数，那么该段就一定是根轨迹的一部分。 法则5.分离点:两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点，分离点的坐标d 是下列方程的解： 法则6.根轨迹的起始角与终止角： 法则7.根轨迹与虚轴的交点 1）交点上的K*值和? 可用劳斯判据辅助方程确定 2）也可令闭环特征方程中的s=j?，然后分别令其实部和虚部为零而求得。 法则8.根之和 当n-m1时，闭环特征根之和＝开环极点之和＝常数 [例4-1]考虑图4-1所示系统, 设其中 用Matlab绘出根轨迹如图4-9，它印证了上述三点改动。 图4-9 正反馈系统的根轨迹 考虑含有延迟环节的系统： 其闭环特征方程为： 当K给定时它有无穷多个根，所以根轨迹有无穷多支。方程就是 而 所以对应的相角条件为： 所以相角条件变成： 当n=0时相角条件为： 1)实轴上根轨迹：ω=0对应实轴，实轴上满足∠(s+1)=180°的点一定在根轨迹上显然实轴上(∞,1]段在根轨迹上； 图4-10 延迟环节根轨迹的相角条件 w=0满足相角方程 2）当n=0时相角条件为： 3）当n=1,2,…时，相角条件是各不相同的，取T=1，根据各自的相角条件可以绘出n=1,2,…时的根轨迹如图4-11。这样的根轨迹分支有无穷个。 n=0 n=0 n=1 n=1 n=2 n=2 从图上知道：n越大ω越大，再从幅值条件： 知道ω越大K也越大。 所以在分析稳定性时，只需看n=0的根轨迹图就行了。 模