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第16章 量子物理基础 大学物理A教案 第16章 量子物理基础 第6篇 近代物理基础 (量子4) 不确定关系 薛定谔方程 §16.6 不确定关系 经典力学中, 可同时确定质点的位置和动量; 微观粒子由于具有波粒二象性，同时确定它的坐标和动量受到限制。 如图, 电子一个一个地通过单缝 长时间积累后出现衍射图样 设有一束动量为 的电子,沿y方向垂直通过宽度为 的狭缝, 由于电子有波动性, 电子过狭缝后, 在屏上形成衍射图样。 x θ 考察一个电子通过缝时的位置和动量 由于缝有一定宽度, 电子通过缝上哪一点是不确定的, 即 (1) 电子位置坐标的不确定量等于缝的宽度 它沿 x方向的动量 是多大呢? 如果电子在过缝前 px = 0 , 过缝后, px不再是零. 因为电子有波动性, 过缝后电子波产生衍射花样, 其分布关于y 轴对称,中心是主极大。且 越小, px将越大。 （2）一个电子过缝后在 x 方向动量 px 的不确定量为： x θ 即电子过缝后向什么方向偏是不确定的。忽略次极大，可认为电子过缝后都落在中央亮纹处，其运动方向可以有大到 的偏转。所以一个电子过缝后在x方向动量的分量 的大小为下列不等式所限 是第一极小对应的衍射角。 海森伯不确定关系 量子力学中由海森伯给出更严格的关系式 如果考虑次极大， 还要大些，因此一般有 除了坐标和动量的不确定关系外，还有能量与时间也有不确定关系 。如果粒子处于某一状态的时间为 ，则其能量必有一个不确定量 ，量子力学给出 这就是激发态的能级宽度。除基态外，原子的激发态平均寿命越长，能级宽度越小。原子由激发态跃迁到基态的光谱线也有一定宽度。 利用这个关系可以解释原子各激发态的能级宽度 和它在该激发态的平均寿命 之间的关系。 原子在激发态的平均寿命 s，可知激发态能级的能量值的不确定量为 应该指出：不确定关系是波粒二象性及其统计关系的必然结果，并非测量仪器对粒子的干扰，也不是仪器或实验误差的缘故。 例1 证如果确定一个低速运动的粒子的位置时,其不确定量等于粒子的德布罗意波长,则同时确定粒子的速度时, 其不确定量等于粒子的速度。 解 已知 又 例2 一维运动的粒子，设其动量的不确定量等于它的动量，试求此粒子位置的不确定量与它的德布罗意波长的关系。 解 由题意义 ① ② 比较①②得 解 光子动量 由不确定关系 例3 光子波长 , 如果测量此波长的精度 ，试求此光子位置的不确定量。 其不确定量 §16.7 波函数 薛定谔方程 经典力学中由牛顿第二定律可求得质点的运动方程。 下面先从自由粒子入手，介绍波函数及其物理意义，然后讨论薛定谔方程的建立。 如谐振子： 解方程可得 量子力学中与牛二定律地位相当的是薛定谔方程，它的解称为波函数，一般用 表示 微观粒子由于具有波粒二象性，其运动状态如何描述呢？ 1、自由粒子的波函数 经典波动理论中，沿x正向传播的平面简谐波的波函数为 与恒定速度的自由粒子联系的德布罗意波是平面波，其波函数也可写成上式的形式 自由粒子 不受外力的粒子 把上式写成复数形式，并取其实部有 ① 对自由粒子 ② 可用光波与物质波类比的方法来阐明波函数的物理意义。 这就是与能量为E，动量为p，沿x正向运动的自由粒子相联系的德布罗意波的波函数， 是波函数的振幅。 2、波函数的物理意义 把②式改写成 其中 仅与坐标 x 有关，与时间t无关， 称为振幅函数或叫定态波函数。 光具有波粒二象性：按波动观点, 衍射图样中 ② 或 粒子在某处附近出现的几率与该处波函数的振幅平方成正比。 亮处 光强大 振幅平方(电场强度振幅)大 按粒子观点： 亮处 入射该处的光子数多 两种看法是等效的 结论是: 入射到空间