[工学]随机过程6.ppt

随机过程 王建华 Email:wangao@public.wh.hb.cn 第六章 平稳随机过程 6.1 平稳随机过程的概念 定义2.12 设{X(t)，t ?T }是随机过程，如果对任意常数?和正整数n， t1,t2,?, tn?T, t1+?, t2+?,?,tn+? ?T， 若(X(t1), X(t2), ?, X(tn))与 (X(t1+?), X(t2+?),?, X(tn+?)) 有相同的联合分布，则称{X(t)，t ?T }为严平稳过程，也称狭义平稳过程。 6.1 平稳随机过程的概念 定义2.12 设{X(t)，t ?T }是随机过程，如果 (1){X(t)，t ?T }是二阶矩过程； (2)对任意t ?T ，mX(t)=EX(t)=常数； (3)对任意s,t ?T ， RX(s,t)=E[X(s)X(t)]=RX(t-s)， 则称{X(t)，t ?T }为宽平稳过程，也称广义平稳过程，简称平稳过程。 6.1 平稳随机过程的概念 若T为离散集，称平稳过程{X(t)，t ?T }为平稳序列。 广义平稳过程 严平稳过程 严平稳过程 广义平稳过程 严平稳过程 广义平稳过程 6.1 平稳随机过程的概念 例2.12 X(t)=Ycos(?t)+Zsin(?t), t0，Y,Z相互独立，EY=EZ=0，DY=DZ=?2。讨论随机过程{X(t),t0}的平稳性。 解 6.1 平稳随机过程的概念 6.1 平稳随机过程的概念 例6.1 设{Xn,n=0, ?1, ?2,?}是实的互不相关随机变量序列，且E[Xn]=0，D[Xn] =?2 。讨论随机序列的平稳性。 解 因为E[Xn]=0， 所以{Xn,n=0, ?1, ?2,?}是平稳随机序列。 6.1 平稳随机过程的概念 例6.4 设状态连续、时间离散的随机过程X(t)=sin(2? t)，其中 是(0,1)上的均匀分布随机变量，t只取整数值1,2,?，讨论随机过程X(t)的平稳性。 解 6.1 平稳随机过程的概念 6.2 联合平稳随机过程 定义6.1 设{X(t)，t ?T }和{Y(t)，t ?T }是两个平稳过程，若它们的互相关函数E[X(t)Y(t-?)]及E[Y(t)X(t-?)]仅与?有关，而与t无关，则称X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。 RXY(t, t-?)=E[X(t)Y(t-?)]=RXY(?) RYX(t, t-?)=E[Y(t)X(t-?)]=RYX(?) 当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程时，W(t)=X(t)+Y(t)是平稳随机过程。 6.2 联合平稳随机过程 事实上，EW(t)=EX(t)+EY(t)=常数， 6.2 联合平稳随机过程 例6.6 设X(t)=Asin(?t+ )， Y(t)=Bsin(? t+ -?)为两个平稳过程，其中A,B,? 是常数， 是(0,2?)上的均匀分布随机变量， 证明X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。 解 6.2 联合平稳随机过程 6.2 联合平稳随机过程 6.3 随机分析简介 微积分中普通函数的连续、导数和积分等概念推广到随机过程的连续、导数和积分上即随机分析 随机序列的收敛性: 处处收敛 几乎处处收敛 依概率收敛 依分布收敛 均方收敛 6.3 随机分析简介 均方收敛 定义6.4 设有二阶矩随机序列{Xn}和二阶矩随机变量X，若有 成立，则称{Xn}均方收敛于X。 记作 或 6.3 随机分析简介 定理6.2（柯西收敛定理） 二阶矩随机序列{Xn}收敛于二阶矩随机变量X的充要条件是 6.3 随机分析简介 定理6.2 设{Xn}, {Yn}, {Zn},都是二阶矩随机序列，U是二阶矩随机变量，{cn}为常数序列，a,b,c为常数，令 则(1) (2) (3) 6.3 随机分析简介 (4) (5) (6) 6.3 随机分析简介 定理6.4 设{Xn} 为二阶矩随机序列，则{Xn}均方收敛的充要条件是下列极限存在 6.3 随机分析简介 均方连续 定义6.6 设有二阶矩过程{X(t),t?T}，若对每一个t?T ，有 则称X(t)在t点均方连续，记作 若对T中的一切点都均方连续，则称X(t)在T上均方连续 6.3 随机分析简介 定理6.5（均方连续准则） 二阶矩过程{X(t),t?T}，