[工学]静电场26-27电气.ppt

* 2.6 泊松方程与拉普拉斯方程 前面我们所介绍的计算电场或电位问题的方法有两种：积分公式法和高斯法。这些方法都是在已知电荷分布求的情况下使用。但实际情况往往是电荷的分布不知道。 即使给出了电荷分布，通过积分运算也不是很容易求出其解。 寻找另一条途径，即求解电位 的微分方程。 求解电场、电位的另一种行之有效的方法就是泊松方程法。 2.6.1 泊松方程与拉普拉斯方程的导出 由真空中微分形式的高斯定律 代入上式得： 真空中的泊松方程 在无源区， ，变为： 真空中的拉普拉斯方程 真空中没有极化电荷， 代入上式得： 介质中的泊松方程 按照同样的方法可导出介质中的泊松方程和拉普拉斯方程 由介质中微分形式的高斯定律 在无源区， ，变为： 介质中的拉普拉斯方程 泊松方程 拉普拉斯方程 在直角坐标系下： 在柱坐标系下： 在球坐标系下： 1.平面对称场 当电荷呈平面对称分布，且导体表面、介质分界面与电荷对称平面平行时，空间电位分布的等位面也是一族相互平行的平面，这种场称为平面对称场。 例2-16 有一厚度为 ，体密度为 的均匀带电无限大平板，求空间I，II，III，区域内的 与 分布 x y o I II III 解： 三个区域内的电位分别满足： 解分别为： 根据边界条件确定积分常数 x y o I II III 首先选 处为电位参考点 电荷是关于 的平面对称分布的，电荷在此平面上产生的电场相互抵消，在 处： 根据边界条件确定积分常数 在 处，应有电位和电位的法向导数连续。 在 处，应有电位和电位的法向导数连续。 x y o I II III 2.柱面对称场 当电荷呈柱面对称分布，且导体表面、介质分界面都是共轴柱面时，空间电位分布的等位面是一族共轴的圆柱面，这种场称为柱面对称场。 若取圆柱坐标系，电位只是变量r的函数，也可用直接积分法求解 例2-17 同轴传输线的内导体半径r=a，外导体的内半径r=b，传输线长度远大于半径，外导体接地，内导体电位为U，如图所示。试求同轴传输线介质中的电位和电场分布。 a b 解： 介质区域内无电荷分布，因此介质中的电位分布满足拉普拉斯方程： 在圆柱坐标系中： 由于电荷分布关于柱对称，因此电位、电场分布也关于柱对称。即电位仅随r的变化而变化。 C1、C2为积分常数，由边界条件确定。 由题意知： 代入下式： 解方程得： 外导体接地，内导体电位为 a b 圆柱坐标系中 电场分布也关于柱对称。即电场仅随r的变化而变化 3.球面对称场 当电荷呈球面对称分布，且导体表面、介质分界面都是同心球面时，空间电位分布的等位面是一族同心球面，这种场称为球面对称场。 若取球坐标系，电位只是变量r的函数，也可用直接积分法求解 例2-18 一金属球半径为a，位于两种不同媒质的分界面上，导体球电位为 ，求上、下半空间中任一点处的电位。 用泊松方程法求解例2-14。 解： 导体球周围的电场分布呈球对称分布 上、下半空间中任一点处的电位分别为 边界条件： 本节重点 1、电容的计算； 2、分界面上的边界条件； 3、利用分界面上的边界条件分析问题； 4、应用泊松方程和拉普拉斯方程计算电场 作业：P64 2-17 2.7 静电场的能量与力 静电场中的电荷受电场力的作用，如果电场力移动电荷，说明电场力做功。可见，静电场中储存着能量。 把静电场中储存的能量称为静电能量。 2.7.1 点电荷系的能量 N个点电荷的静电场中储存的能量: N个导体的静电场中储存的能量 对于电荷连续分布的系统: 分布电荷的体密度 各点电荷或各 导体的电位 分布电荷的电位 这两个算式都是用于计算总静电能量的，没有说明能量的分布情况，而且容易误解为：静电能量储存在电荷分布的空间内。 其实静电能量储存于电场所在的整个空间，而不是只分布在电荷所在区域。 静电场能量计算公式： 点电荷或带电体系统 电荷连续分布的系统 则： 在真空的静电场中，由于 将它代入 再利用矢量恒等式： 2.7.2 能量的场强表示 此时，如果把积分空间取得无限大，结果会怎样？ 电荷分布的空间 电场能量体密度 此式说明，电能量存在于在 的所有空间，而不是只存在于电荷所在的空间。 电场能量计算公式： 能量分布于场存在的空间。表明场存在的空间中，任一体积元内都具有能量。若在场中将能量密度对某一体积积分就得到该体积内储存的能量。 是用带电体的电荷量和电位表示的电场能量。 电场强度表示的电场能量 例2-19 半径为R 的导体球上带电量为q，试计算空间（ε0）中的静电能量。 R ρ 解：